Question

已知：平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在y軸的正半軸上，點(diǎn)B在第二象限，AO=a，AB=b，BO與x軸正方向的夾角為150°，且（a²-b²）+（a-b）=0 

（1）試判定△ABO的形狀；
（2）如圖1，若BC⊥BO，BC=BO，點(diǎn)D為CO的中點(diǎn)，AC、DB交于E，求證：AE=BE+CE；
（3）如圖2，若點(diǎn)E為y軸的正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，以BE為邊作等邊△BEG，延長(zhǎng)GA交x軸于點(diǎn)P，問(wèn)：AP與AO之間有何數(shù)量關(guān)系，試證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),坐標(biāo)與圖形性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì)

專題：計(jì)算題

分析：（1）△ABO為等邊三角形，理由為：根據(jù)（a²-b²）+（a-b）=0，得到a=b，再由BO與x軸正方向的夾角為150°得到∠AOB=60°，即可得證；
（2）在AC上截取AM=CE，先證∠AEB=60°，方法是根據(jù)題意得到三角形ABO為等邊三角形，三角形BOC為等腰直角三角形，確定出∠ABD度數(shù)，根據(jù)AB=BC，且∠ABC=120°，得到∠BAE度數(shù)，進(jìn)而確定出∠AEB為60°，再由AM=CE，得到AE=CM，再由AB=CB，且?jiàn)A角∠BAC=∠BCA，利用SAS得到三角形BCM與三角形BAE全等，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到BM=BE，得到三角形BEM為等邊三角形，得到BE=EM，由AE=EM+AM，等量代換即可得證；
（3）AP=2AO，理由為：由題意得到BG=BE，AB=OB，利用等式的性質(zhì)得到∠ABG=∠OBE，利用SAS得到三角形ABG與三角形OBE全等，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等得到∠GAB=∠BOE=60°，利用外角的性質(zhì)得到∠APO=30°，在直角三角形AOP中，利用30度角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半得到AP=2AO．

解答：解：（1）△ABO為等邊三角形，理由為：
∵（a²-b²）+（a-b）=（a+b）（a-b）+（a-b）=（a-b）（a+b+1）=0，
∴a-b=0，得到a=b，即AO=AB，
∵OB與x軸正半軸夾角為150°，
∴∠AOB=150°-90°=60°，
∴△AOB為等邊三角形；
（2）在AC上截取AM=EC，可得AM+EM=CE+EM，即AE=CM，
∵△AOB為等邊三角形，△BOC為等腰直角三角形，
∴∠OBC=90°，∠ABO=60°，
∵D為CO的中點(diǎn)，
∴BD平分∠OBC，即∠CBD=∠OBD=45°，
∴∠ABD=105°，∠ABC=150°，
∴∠BAC=∠BCA=15°，
∴∠AEB=60°，
在△ABE和△CBM中，

AB=CB ∠BAE=∠BCM AE=CM

，
∴△ABE≌△CBM（SAS），
∴BM=BE，
∴△BEM為等邊三角形，
∴BE=EM，
∴AE=AM+EM=CE+BE；
（3）AP=2AO，理由為：
證明：∵△AOB與△BGE都為等邊三角形，
∴BE=BG，AB=OB，∠EBG=∠OBA=60°，
∴∠EBG+∠EBA=∠OBA+∠EBA，即∠ABG=∠OBE，
在△ABG和△OBE中，

AB=OB ∠ABG=∠OBE BE=BG

，
∴△ABG≌△OBE（SAS），
∴∠BAG=∠BOE=60°，
∴∠GAO=∠GAB+∠BAO=120°，
∵∠GAO為△AOP的外角，且∠AOP=90°，
∴∠APO=30°，
在Rt△AOP中，∠APO=30°，
則AP=2AO．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，外角性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．