Question

如圖，二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，且A點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，0），經(jīng)過B點(diǎn)的直線交拋物線于點(diǎn)D（-2，-3）．
（1）求拋物線的解析式和直線BD解析式；
（2）過x軸上點(diǎn)E（a，0）（E點(diǎn)在B點(diǎn)的右側(cè)）作直線EF∥BD，交拋物線于點(diǎn)F，是否存在實(shí)數(shù)a使四邊形BDFE是平行四邊形？如果存在，求出滿足條件的a；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（1）將A（-3，0），D（-2，-3）的坐標(biāo)代入y=x²+bx+c得，
，
解得：，
∴y=x²+2x-3
由x²+2x-3=0，
得：x₁=-3，x₂=1，
∴B的坐標(biāo)是（1，0），
設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b，則，
解得：，
∴直線BD的解析式為y=x-1；

（2）∵直線BD的解析式是y=x-1，且EF∥BD，
∴直線EF的解析式為：y=x-a，
若四邊形BDFE是平行四邊形，
則DF∥x軸，
∴D、F兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，即點(diǎn)F的縱坐標(biāo)為-3．
由，得
y²+（2a+1）y+a²+2a-3=0，
解得：y=．
令=-3，
解得：a₁=1，a₂=3．
當(dāng)a=1時(shí)，E點(diǎn)的坐標(biāo)（1，0），這與B點(diǎn)重合，舍去；
∴當(dāng)a=3時(shí)，E點(diǎn)的坐標(biāo)（3，0），符合題意．
∴存在實(shí)數(shù)a=3，使四邊形BDFE是平行四邊形．
分析：（1）把A、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式可得二次函數(shù)解析式中b，c的值，讓二次函數(shù)的y等于0求得拋物線與x軸的交點(diǎn)B，把B、D兩點(diǎn)代入一次函數(shù)解析式可得直線BD的解析式；
（2）得到用a表示的EF的解析式，跟二次函數(shù)解析式組成方程組，得到含y的一元二次方程，進(jìn)而根據(jù)y=-3求得合適的a的值即可．
點(diǎn)評(píng)：綜合考查二次函數(shù)的知識(shí)；用到的知識(shí)點(diǎn)為：平面直角坐標(biāo)系中，兩直線平行，一次項(xiàng)系數(shù)的值相等；兩個(gè)點(diǎn)所在的直線平行，這兩個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等．