Question

如圖，拋物線y=ax²+bx-2經(jīng)過A（4，0），B（1，0）兩點(diǎn)．
（1）求出拋物線的解析式；
（2）若P是拋物線上x軸上方的一動點(diǎn)，過P作PM⊥x軸，垂足為M，是否存在P點(diǎn)，使得以A，P，M為頂點(diǎn)的三角形與△OAC相似？若存在，請求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）在直線AC上方的拋物線上有一點(diǎn)D，使得△DCA的面積最大，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）將A（4，0），B（1，0）的坐標(biāo)代入y=ax²+bx-2得
，
解得，
故此拋物線的解析式為y=-x²+x-2．

（2）存在．
如圖，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，則P的縱坐標(biāo)為-m²+m-2，
AM=4-m，PM=-m²+m-2，
又∵∠COA=∠PMA=90°，
∴①當(dāng)==時(shí)，
△APM∽△ACO，
即4-m=2（-m²+m-2）
解得：m₁=2，m₂=4（舍去），
則P（2，1），
②當(dāng)==時(shí)，
△APM∽△CAO，
即2（4-m）=-m²+m-2，
解得：m₁=4，m₂=5（均不合題意，舍去），
故符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（2，1）．

（3）如圖，設(shè)D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t（0＜t＜4）D點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-t²+t-2，
過D作y軸的平行線交AC于E，
∵由題意可求得直線AC的解析式為y=x-2，
∴E點(diǎn)的坐標(biāo)為（t，t-2），
∴DE=-t²+t-2-（t-2）=-t²+2t，
∴S_△DAC=S_△DCE+S_△DEA=×（-t²+2t）×4=-t²+4t=-（t-2）²+4，
∴當(dāng)t=2時(shí)，△DAC面積最大，∴D（2，1）．
分析：（1）本題需先根據(jù)圖象過A，B兩點(diǎn)，即可得出解析式．
（2）本題首先判斷出存在，首先設(shè)出橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，從而得出PA的解析式，再分三種情況進(jìn)行討論，當(dāng)==時(shí)和當(dāng)==時(shí)，得出△APM∽△ACO△APM∽△CAO，分別求出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可．
（3）本題需先根據(jù)題意設(shè)出D點(diǎn)的橫坐標(biāo)和D點(diǎn)的縱坐標(biāo)，再過D作y軸的平行線交AC于E，再由題意可求得直線AC的解析式為，即可求出E點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得出結(jié)果即可．
點(diǎn)評：本題考查了拋物線解析式的求法，拋物線與相似三角形的問題，坐標(biāo)系里表示三角形的面積及其最大值問題，要求會用字母代替長度，坐標(biāo)，會對代數(shù)式進(jìn)行合理變形．