Question

如圖，在正方形ABCD中，AB=4，點E為BC的中點，F(xiàn)為邊CD上的點，CF=1
（1）求證：AE⊥EF；
（2）求點B到直線AF的距離．

Answer 1

分析：（1）由題中條件，先根據(jù)兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似可得△ABE∽△ECF，再根據(jù)相似三角形對應角相等得出∠BAE=∠CEF，而∠BAE+∠AEB=90°，由等量代換、平角的定義及垂線的定義即可證明出AE⊥EF；
（2）過點B作BG⊥AF于G，則BG為所求．連接BF，根據(jù)S_△ABF=

1

2

AF•BG=S_{正方形ABCD}-S_△BCF-S_△ADF，即可求解．

解答：（1）證明：如圖1，
∵在正方形ABCD中，E是BC的中點，F(xiàn)是CD上一點，CF=1，
∴∠ABC=∠C=90°，AB：EC=BE：CF=2：1，
∴△ABE∽△ECF，
∴∠BAE=∠CEF，
又∵∠BAE+∠AEB=90°，
∴∠CEF+∠AEB=90°，
∴∠AEF=180°-（∠CEF+∠AEB）=90°，
∴AE⊥EF；

（2）解：如圖2，連接BF，過點B作BG⊥AF于G．
∵CF=1，CD=4，∴DF=3．
在△ADF中，∵DF=3，AD=4，
∴由勾股定理得：AF=5．
∵S_△ABF=

1

2

AF•BG=S_{正方形ABCD}-S_△BCF-S_△ADF，
∴

1

2

×5×BG=4²-

1

2

×4×1-

1

2

×4×3，
∴BG=

16

5

．
故點B到直線AF的距離

16

5

．

點評：本題主要考查了正方形的性質，點到直線的距離的定義，相似三角形的判定與性質，難度中等．（1）中證明出△ABE∽△ECF，是解題的關鍵，（2）中根據(jù)△ABF的面積不變列式是解題的關鍵．