Question

已知圓心在原點(diǎn)，半徑為1的⊙O，直線AB與⊙O切于點(diǎn)P （m，n）．且與x、y軸交于點(diǎn)A（a，0）、B（0，b）（a＞0，b＞0）．
（1）如圖1，當(dāng)m=

3

2

時，求a的值；
（2）如圖2，連接OP，過P向x軸引垂線交x軸于點(diǎn)C，設(shè)x表示△OPC的面積，y=a+b，試求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）過P作PC⊥x軸于C，在直角三角形OPA中，根據(jù)射影定理可得出OP²=OC•OA，即a=

1

m

，同理可得出b=

1

n

，據(jù)此可根據(jù)m的值求出a的值；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，可用m，n替換掉y=a+b中的a和b．然后根據(jù)mn=x，m²+n²=1即可得出y與x的函數(shù)關(guān)系式．

解答：解：（1）過P作PC⊥OA于C，

∵AB是圓O的切線，因此OP⊥AB，
根據(jù)射影定理可得：OP²=OC•OA，即a=

1

m

，同理可得b=

1

n

，
因此當(dāng)m=

3

2

時，a=

2 3

3

；

（2）根據(jù)題意可知：OP=1，因此m²+n²=1，
而△OCP的面積為x，即

1

2

mn=x，mn=2x，
∴y=a+b=

1

m

+

1

n

=

m+n

m•n

=

m2+n2+2mn

m•n

=

4x+1

2x

∵當(dāng)PC=CO時，x最大，此時OP=1，得出PC=CO=

2

2

，
∴x=

1

2

×

2

2

×

2

2

=

1

4

，
∴0＜x≤

1

4

．

點(diǎn)評：主要考查了函數(shù)和幾何圖形的綜合運(yùn)用．