Question

如圖，已知⊙M的半徑為2cm，圓心角∠AMB=120°，并建立如圖所示的直角坐標(biāo)系．
（1）求圓心M的坐標(biāo)；
（2）求經(jīng)過A、B、C三點拋物線的解析式；
（3）點D是位于AB所對的優(yōu)弧上一動點，求四邊形ACBD的最大面積；
（4）在（2）中的拋物線上是否存在一點P，使△PAB和△ABC相似？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）在直角△AMO中，根據(jù)三角函數(shù)就可以求出OM，就可以得到M的坐標(biāo)．
（2）根據(jù)三角函數(shù)就可以求出A，B的坐標(biāo)，拋物線經(jīng)過點A、B、C，因而M一定是拋物線的頂點．根據(jù)待定系數(shù)法就可以求出拋物線的解析式．
（3）四邊形ACBD的面積等于△ABC的面積+△ABP的面積，△ABC的面積一定，△ABP中底邊AB一定，P到AB的距離最大是三角形的面積最大，即當(dāng)P是圓與y軸的交點時面積最大．
（4）△PAB和△ABC相似，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等，就可以求出P點的坐標(biāo)．
解答：解：（1）由題意知：∠AMB=120°，
∴∠CMB=60°，∠OBM=30度．（2分）
∴OM=MB=1，
∴M（0，1）．（3分）

（2）由A，B，C三點的特殊性與對稱性，知經(jīng)過A，B，C三點的拋物線的解析式為y=ax²+c．（4分）
∵OC=MC-MO=1，OB=，
∴C（0，-1），B（ ，0）．（5分）
∴c=-1，a=．
∴y=x²-1．（6分）

（3）∵S_{四邊形ACBD}=S_△ABC+S_△ABD，又S_△ABC與AB均為定值，（7分）
∴當(dāng)△ABD邊AB上的高最大時，S_△ABD最大，此時點D為⊙M與y軸的交點．（8分）
∴S_{四邊形ACBD}=S_△ABC+S_△ABD=AB•OC+AB•OD
=AB•CD
=4 cm²．（9分）

（4）假設(shè)存在點P，如下圖所示：
方法1：
∵△ABC為等腰三角形，∠ABC=30°，，
∴△ABC∽△PAB等價于∠PAB=30°，PB=AB=2 ，PA=PB=6．（10分）
設(shè)P（x，y）且x＞0，則x=PA•cos30°-AO=3 -=2 ，y=PA•sin30°=3．（11分）
又∵P（2 ，3）的坐標(biāo)滿足y=x²-1，
∴在拋物線y=x²-1上，存在點P（2 ，3），
使△ABC∽△PAB．
由拋物線的對稱性，知點（-2 ，3）也符合題意．
∴存在點P，它的坐標(biāo)為（2 ，3）或（-2 ，3）．（12分）
說明：只要求出（2 ，3），（-2 ，3），無最后一步不扣分．下面的方法相同．
方法2：
當(dāng)△ABC∽△PAB時，∠PAB=∠BAC=30°，又由（1）知∠MAB=30°，
∴點P在直線AM上．
設(shè)直線AM的解析式為y=kx+b，
將A（-，0），M（0，1）代入，
解得 ，
∴直線AM的解析式為y=x+1．（10分）
解方程組 ，
得P（2 ，3）．（11分）
又∵，
∴∠PBx=60度．
∴∠P=30°，
∴△ABC∽△PAB．
∴在拋物線y=x²-1上，存在點（2 ，3），使△ABC∽△PAB．
由拋物線的對稱性，知點（-2 ，3）也符合題意．
∴存在點P，它的坐標(biāo)為（2 ，3）或（-2 ，3）．（12分）
方法3：
∵△ABC為等腰三角形，且 ，
設(shè)P（x，y），則△ABC∽△PAB等價于PB=AB=2 ，PA=AB=6．（10分）
當(dāng)x＞0時，得 ，
解得P（2 ，3）．（11分）
又∵P（2 ，3）的坐標(biāo)滿足y=x²-1，
∴在拋物線y=x²-1上，存在點P（2 ，3），使△ABC∽△PAB．
由拋物線的對稱性，知點（-2 ，3）也符合題意．
∴存在點P，它的坐標(biāo)為（2 ，3）或（-2 ，3）．（12分）
點評：本題主要考查了二次函數(shù)的知識，其中涉及了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、相似三角形的對應(yīng)邊的比相等等知識，注意熟練掌握這些知識并靈活應(yīng)用．