Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，AD=2，BC=BD=3，AC=4．
（1）求證：AC⊥BD；
（2）求△AOB的面積．

Answer 1

（1）證明：過(guò)點(diǎn)D作DK∥AC交BC的延長(zhǎng)線于K，
∵AD∥BC，
∴四邊形ACKD是平行四邊形，
∵AD=2，BC=BD=3，AC=4，
∴CK=AD=2，DK=AC=4，DK∥AC，
∴BK=BC+CK=5，
∴BD²+DK²=BK²，
∴△BDK是直角三角形，∠BDK=90°，
即DK⊥BD，
∴AC⊥BD；

（2）解：∵AD∥BC，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB
又∵∠AOD和∠BOD為對(duì)頂角
∴△AOD∽△COB，
∴，
∴OA=AC=×4=，OB=BD=×3=，
∴S_△AOB=OA•OB=××=．
分析：（1）首先過(guò)點(diǎn)D作DK∥AC交BC的延長(zhǎng)線于K，易得四邊形ACKD是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊相等，易求得BD²+DK²=BK²，即可得△BDK是直角三角形，∠BDK=90°，繼而證得AC⊥BD；
（2）由AD∥BC，易得△AOD∽COB，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，易求得OA，OB的值，繼而求得△AOB的面積．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了梯形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的逆定理．此題綜合性較強(qiáng)，難度適中，注意輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．