Question

已知四邊形ABCD是矩形，AB是⊙O的直徑，E是⊙O上一點，過點E作EF⊥DC于點F．若DF=EF=10，且

AE

=

1

3

AB

，則矩形ABCD中AD的長度為（　　）

• A、10（

  3

  -1）
• B、10（

  3

  +1）
• C、20或10（

  3

  -1）
• D、10（

  3

  -1）或10（

  3

  +1）

Answer 1

考點：垂徑定理,矩形的性質(zhì),解直角三角形

專題：

分析：延長EF交AB于G，連接AE，BE，因為AB∥DC，EF⊥DC，得出EG⊥AB，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角求得∠AEB=90°，根據(jù)

AE

=

1

3

AB

，求得∠AEG=∠AEB=30°，然后根據(jù)30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求得AE=2AG=20，最后根據(jù)勾股定理求得EG，進(jìn)而求得FG的長，因為AD=FG，即可求得AD的長．

解答：解：延長EF交AB于G，連接AE，BE，
∵EF⊥DC，AB∥DC，
∴EG⊥AB，AG=DF=10，
∵AB是直徑，
∴∠AEB=90°，
∵

AE

=

1

3

AB

，
∴∠ABE=30°，
∴∠AEG=30°，
∴AE=2AG=20，
∴EG=

AE2-AG2

=10

3

，
∵EF=10，
∴FG=EG-EF=10

3

-10=10（

3

-1），
∵四邊形ABCD是矩形，EG⊥AB，
∴四邊形AGFD是矩形，
∴AD=FG=10（

3

-1）．
故選A．

點評：本題考查了矩形的性質(zhì)，直徑所對的圓周角的性質(zhì)，30°角所對的直角邊的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用等，本題的關(guān)鍵是求得∠AFG=30°．