【題目】如圖,E為等腰直角△ABC的邊AB上的一點,要使AE=3,BE=1,P為AC上的動點,則PB+PE的最小值為____________.
【答案】5
【解析】試題分析:作點B關于AC的對稱點F,構建直角三角形,根據(jù)最短路徑可知:此時PB+PE的值最小,接下來要求出這個最小值,即求EF的長即可,因此要先求AF的長,證明△ADF≌△CDB,可以解決這個問題,從而得出EF=5,則PB+PE的最小值為5.
解:如圖,過B作BD⊥AC,垂足為D,并截取DF=BD,連接EF交AC于P,連接PB、AF,則此時PB+PE的值最小,
∵△ABC是等腰直角三角形,
∴AB=CB,∠ABC=90°,AD=DC,
∴∠BAC=∠C=45°,
∵∠ADF=∠CDB,
∴△ADF≌△CDB,
∴AF=BC,∠FAD=∠C=45°,
∵AE=3,BE=1,
∴AB=BC=4,
∴AF=4,
∵∠BAF=∠BAC+∠FAD=45°+45°=90°,
∴由勾股定理得:EF===5,
∵AC是BF的垂直平分線,
∴BP=PF,
∴PB+PE=PF+PE=EF=5,
故答案為:5.
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【題目】下列事件中,是確定事件的是( 。
A.三角形任意兩邊之和小于第三邊
B.365人中一定至少有兩人的生日相同
C.龍口市下周一定會下雨
D.打開電視機,正在播放廣告
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【題目】如圖,拋物線與x軸交于A、B兩點,B點坐標為(3,0),與y軸交于點C(0,﹣3)
(1)求拋物線的解析式;
(2)點P在拋物線位于第四象限的部分上運動,當四邊形ABPC的面積最大時,求點P的坐標和四邊形ABPC的最大面積.
(3)直線l經(jīng)過A、C兩點,點Q在拋物線位于y軸左側(cè)的部分上運動,直線m經(jīng)過點B和點Q,是否存在直線m,使得直線l、m與x軸圍成的三角形和直線l、m與y軸圍成的三角形相似?若存在,求出直線m的解析式,若不存在,請說明理由.
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【題目】春節(jié)期間上映的第一部中國科幻電影《流浪地球》,斬獲約4 670 000 000元票房,將4 670 000 000用科學記數(shù)法表示是( )
A. 4.67×1010B. 0.467×1010C. 0.467×109D. 4.67×109
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【題目】在平面直角坐標系xOy中,點P的坐標為(,),點Q的坐標為(,),且,,若P,Q為某個矩形的兩個頂點,且該矩形的邊均與某條坐標軸垂直,則稱該矩形為點P,Q的“相關矩形”.下圖為點P,Q 的“相關矩形”的示意圖.
(1)已知點A的坐標為(1,0).
①若點B的坐標為(3,1)求點A,B的“相關矩形”的面積;
②點C在直線x=3上,若點A,C的“相關矩形”為正方形,求直線AC的表達式;
(2)⊙O的半徑為,點M的坐標為(m,3).若在⊙O上存在一點N,使得點M,N的“相關矩形”為正方形,求m的取值范圍.
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【題目】如圖,拋物線與x軸交于點A,點B,與y軸交于點C,點D與點C關于x軸對稱,點P是x軸上的一個動點,設點P的坐標為(m,0),過點P作x軸的垂線l交拋物線于點Q.
(1)求點A、點B、點C的坐標;
(2)求直線BD的解析式;
(3)當點P在線段OB上運動時,直線l交BD于點M,試探究m為何值時,四邊形CQMD是平行四邊形;
(4)在點P的運動過程中,是否存在點Q,使△BDQ是以BD為直角邊的直角三角形?若存在,求出點Q的坐標;若不存在,請說明理由.
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