Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，連結(jié)DE，過(guò)點(diǎn)B作BP平行于DE，交⊙O于點(diǎn)P，連結(jié)OP．
（1）求證：BD=DC；
（2）求∠BOP的度數(shù)．

Answer 1

（1）證明：連結(jié)AD，如圖，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=CD；

（2）解：∵∠BAC=30°，AB=AC，
∴∠ABC=（180°-30°）=75°，
∴∠EDC=∠BAC=30°，
∵BP∥DE，
∴∠PBC=∠EDC=30°，
∴∠OBP=∠ABC-∠PBC=45°，
∵OB=OP，
∴△OBP為等腰直角三角形，
∴∠BOP=90°．
分析：（1）連結(jié)AD，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角得到∠ADB=90°，而AB=AC，根據(jù)等腰進(jìn)行的性質(zhì)即可得到BD=CD；
（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可計(jì)算出∠ABC=75°，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的面積得到∠EDC=∠BAC=30°，然后利用平行線的性質(zhì)得到∠PBC=∠EDC=30°，所以∠OBP=∠ABC-∠PBC=45°，于是可判斷△OBP為等腰直角三角形，則∠BOP=90°．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，一條弧所對(duì)的圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)的圓心角度數(shù)的一半．也考查了等腰三角形的性質(zhì)．