Question

△ABC中，∠BAC=60°，BD、CE分別平分∠ABC、∠ACB，BD、CE相交于點O，則四個結(jié)論：①∠BOE=60°，②AE=AD，③OE=OD，④BE+DC=BC，結(jié)論正確的有

①③④

．（多選、錯選不得分）

Answer 1

分析：根三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC+∠ACB，再根據(jù)角平分線的定義求出∠OBC+∠OCB，然后根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和可得∠BOE=∠OBC+∠OCB；在BC上取BF=BE，然后利用“邊角邊”證明△BOE和△BOF全等，根據(jù)全等三角形對應角相等可得∠BOF=∠BOE=60°，全等三角形對應邊相等可得OE=OF，BE=BF，再求出∠COD=∠COF=60°，然后利用“角邊角”證明△COD和△COF全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得OD=OF，CD=CF，從而得到OE=OD，BC=BE+DC；AE=AD無法證明．

解答：解：∵∠BAC=60°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°，
∵BD、CE分別平分∠ABC、∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=

1

2

×120°=60°，
∴∠BOE=∠OBC+∠OCB=60°，故①正確；
在BC上取BF=BE，
∵BD平分∠ABC，
∴∠OBE=∠OBF，
在△BOE和△BOF中，

BE=BF ∠OBE=∠OBF BO=BO

，
∴△BOE≌△BOF（SAS），
∴∠BOF=∠BOE=60°，OE=OF，BE=BF，
∴∠COD=∠COF=60°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠OCD=∠OCF，
在△COD和△COF中，

∠COD=∠COF OC=OC ∠OCD=∠OCF

，
∴△COD≌△COF（ASA），
∴OD=OF，CD=CF，
∴OE=OD，BC=BE+DC，故③④正確；
AE=AD無法證明，故②錯誤．
所以正確的結(jié)論是①③④．
故答案為：①③④．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．