Question

如圖，已知直線l的函數(shù)表達(dá)式為y=-

4

3

x+8，且l與x軸，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)Q從B點(diǎn)開始在線段BA上以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A移動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)開始在線段AO上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)O移動(dòng)，設(shè)點(diǎn)Q，P移動(dòng)的時(shí)間為t秒
（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)為

 

，點(diǎn)B的坐標(biāo)為

 

；
（2）當(dāng)t=

 

時(shí)，△APQ與△AOB相似；
（3）（2）中當(dāng)△APQ與△AOB相似時(shí)，線段PQ所在直線的函數(shù)表達(dá)式為

 

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，即與x軸的交點(diǎn)y=0，與y軸的交點(diǎn)x=0，求出A．B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)移動(dòng)的時(shí)間為t時(shí)，根據(jù)△APQ∽△AOB，利用三角形的相似比求出t的值；
（3）當(dāng)t=

30

11

秒時(shí)，PQ∥OB，PQ⊥OA，PA=

30

11

，即可求出P（

36

11

，0），進(jìn)而求出線段PQ所在直線的函數(shù)表達(dá)式；
當(dāng)t=

50

13

時(shí)PA=

50

13

，BQ=

100

13

，OP=

28

13

，有P（

28

13

，0），設(shè)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），同上可求出Q的坐標(biāo)，設(shè)PQ的表達(dá)式為y=kx+b，把P，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為代入即可求出PQ的表達(dá)式．

解答：解：（1）由y=-

4

3

x+8，
令x=0，得y=8；
令y=0，得x=6．
A，B的坐標(biāo)分別是（6，0），（0，8）；

（2）由BO=8，AO=6，根據(jù)勾股定理得AB=

BO2+AO2

=10．
當(dāng)移動(dòng)的時(shí)間為t時(shí)，AP=t，AQ=10-2t．
∵∠QAP=∠BAO，當(dāng)

PA

OA

=

QA

BA

時(shí)，
△APQ∽△AOB，

t

6

=

10-2t

10

，
∴t=

30

11

（秒）．
∵∠QAP=∠BAO，
∴當(dāng)

PA

AB

=

AQ

AO

時(shí)，
△APQ∽△AOB，
∴

t

10

=

10-2t

6

，
∴t=

50

13

（秒），
∴t=

30

11

秒或

50

13

秒，經(jīng)檢驗(yàn)，它們都符合題意，此時(shí)△AQP與△AOB相似；

（3）當(dāng)t=

30

11

秒時(shí)，PQ∥OB，PQ⊥OA，PA=

30

11

，
∴OP=

36

11

，
∴P（

36

11

，0），
∴線段PQ所在直線的函數(shù)表達(dá)式為x=

36

11

，
當(dāng)t=

50

13

時(shí)PA=

50

13

，BQ=

100

13

，OP=

28

13

，
∴P（

28

13

，0），
設(shè)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），則有

X

OA

=

BQ

BA

，
∴

x

6

=

100 13

10

，
∴x=

60

13

，
當(dāng)x=

60

13

時(shí)，y=-

4

3

×

60

13

+8=

24

13

，
∴Q的坐標(biāo)為(

60

13

，

24

13

)，
設(shè)PQ的表達(dá)式為y=kx+b，
則

28 13 k+b=0 60 13 k+b= 24 13

，
∴

k= 3 4 b=- 21 13

，
∴PQ的表達(dá)式為y=

3

4

x-

21

13

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查的是一次函數(shù)的解析式與三角形相結(jié)合，根據(jù)三角形相似求一次函數(shù)的解析式，有一定的難度．是中學(xué)階段的難點(diǎn)．