Question

如圖，點(diǎn)P是反比例函數(shù)y=

2

x

（x＞0）的圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PA⊥x軸于點(diǎn)A，延長(zhǎng)AP至點(diǎn)B，使PB=PA，過(guò)點(diǎn)B作BC⊥y軸于點(diǎn)C，交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)D．
（1）填空：S_△AOP

=

S_△COD（填“＞“＜”或“=”）
（2）當(dāng)點(diǎn)P的位置改變時(shí)，四邊形PODB的面積是否改變？說(shuō)明理由．
（3）連接OB，交反比例函數(shù)y=

2

x

（x＞0）的圖象于點(diǎn)E，試求

OE

OB

的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)P、D兩點(diǎn)在反比例函數(shù)y=

2

x

（x＞0）的圖象上，且PB=PA，設(shè)P（m，

2

m

），則B（m，

4

m

），D（

m

2

，

4

m

），由此可求S_△AOP，S_△COD，比較大�。�
（2）由S_{四邊形PODB}=S_矩形OABC-S_△AOP-S_△COD，計(jì)算結(jié)果并判斷；
（3）根據(jù)B點(diǎn)坐標(biāo)求直線OB的解析式，聯(lián)立直線OB的解析式與雙曲線解析式，求E點(diǎn)坐標(biāo)，則由相似三角形的性質(zhì)可知

OE

OB

=

E點(diǎn)縱坐標(biāo)

B點(diǎn)縱坐標(biāo)

．

解答：解：（1）依題意設(shè)P（m，

2

m

），則B（m，

4

m

），D（

m

2

，

4

m

），
故S_△AOP=

1

2

m×

2

m

=1，S_△COD=

1

2

×

m

2

×

4

m

=1，
即S_△AOP=S_△COD，
故答案為：=；

（2）不改變．
理由：∵S_{四邊形PODB}=S_矩形OABC-S_△AOP-S_△COD=m×

4

m

-1-1=2，
∴當(dāng)點(diǎn)P的位置改變時(shí)，四邊形PODB的面積總是2，不改變；

（3）設(shè)直線OB解析式為y=kx，將B（m，

4

m

）代入，得k=

4

m2

，
可知直線OB解析式為y=

4

m2

x，
聯(lián)立

y= 2 x y= 4 m2 x

，得

x= 2 m 2 y= 2 2 m

，即E（

2 m

2

，

2 2

m

），
故

OE

OB

=

2 2 m

4 m

=

2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)的綜合運(yùn)用．關(guān)鍵是根據(jù)反比例函數(shù)解析式，矩形的性質(zhì)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，用點(diǎn)的坐標(biāo)表示線段長(zhǎng)度，再計(jì)算面積及線段比．