問題背景：已知x是實數(shù)，求的最小值．要解決這個問題需現(xiàn)判斷出0＜x＜12，繼而聯(lián)想到構(gòu)造以邊長為2+3和12為邊的矩形，找出等于的線段，再比較和矩形對角線的大小．
解：構(gòu)造矩形ABCD，使AB=5，AD=12．在AB上截取AM=3，做矩形AMND．設(shè)點P是MN上一點MP=x，則PN=12-x，
（1）我們把上述求最值問題的方法叫做構(gòu)圖法．請仿造上述方法求的最小值．
探索創(chuàng)新：
（2）已知a，b，c，d是正實數(shù)且a+b+c+d=1，試運用構(gòu)圖法求的最小值．

【答案】分析：（1）根據(jù)勾股定理，和表示矩形的對角線長，即可構(gòu)造矩形ABCD，使AB=6，AD=8．在AB上截取AM=5，作矩形AMND．設(shè)點P是MN上一點MP=x，則PN=8-x，利用兩點之間線段最短即可證得；
（2）根據(jù)已知可以構(gòu)造一個邊長分別是a+b+c+d的正方形，即可利用兩點之間線段最短即可求解．
解答：解：（1）構(gòu)造矩形ABCD，使AB=6，AD=8．
在AB上截取AM=5，作矩形AMND．
設(shè)點P是MN上一點MP=x，則PN=8-x，
PB=，
PD=
BD==10
∵PB+PD≥BD=10
∴y的最小值是10；

（2）構(gòu)造圖形，使BE=，EF=，F(xiàn)G=，DG=，
則BE+EF+FG+DG=的最小值等于BD====．

點評：本題考查了兩點之間線段最短，正確理解題意是關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：閱讀理解

24、閱讀并解決問題．
對于形如x2+2ax+a2這樣的二次三項式，可以用公式法將它分解成（x+a）2的形式．但對于二次三項式x2+2ax-3a2，就不能直接運用公式了．此時，我們可以在二次三項式x2+2ax-3a2中先加上一項a2，使它與x2+2ax的和成為一個完全平方式，再減去a2，整個式子的值不變，于是有：
x2+2ax-3a2=（x2+2ax+a2）-a2-3a2=（x+a）2-（2a）2=（x+3a）（x-a）．
像這樣，先添-適當(dāng)項，使式中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個項，使整個式子的值不變的方法稱為“配方法”．
（1）利用“配方法”分解因式：a2-6a+8．
（2）若a+b=5，ab=6，求：①a2+b2；②a4+b4的值．
（3）已知x是實數(shù)，試比較x2-4x+5與-x2+4x-4的大小，說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

問題背景：已知x是實數(shù)，求y=
x2+4
+
(12-x)2+9
的最小值．要解決這個問題需現(xiàn)判斷出0＜x＜12，繼而聯(lián)想到構(gòu)造以邊長為2+3和12為邊的矩形，找出等于
x2+22
和
(12-x)2+32
的線段，再比較
x2+22
和
(12-x)2+32
和矩形對角線的大小．
解：構(gòu)造矩形ABCD，使AB=5，AD=12．在AB上截取AM=3，做矩形AMND．設(shè)點P是MN上一點MP=x，則PN=12-x，
PB=
x2+22
PD=
(12-x)2+32
BD=
122+52
=13
∵PB+PD≥BD=13
∴y的最小值是13.

（1）我們把上述求最值問題的方法叫做構(gòu)圖法．請仿造上述方法求y=
1+x2
+
25+(8-x)2
的最小值．
探索創(chuàng)新：
（2）已知a，b，c，d是正實數(shù)且a+b+c+d=1，試運用構(gòu)圖法求
a2+b2
+
b2+c2
+
c2+d2
+
d2+a2
的最小值．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

閱讀并解決問題．
對于形如x2+2ax+a2這樣的二次三項式，可以用公式法將它分解成（x+a）2的形式．但對于二次三項式x2+2ax-3a2，就不能直接運用公式了．此時，我們可以在二次三項式x2+2ax-3a2中先加上一項a2，使它與x2+2ax的和成為一個完全平方式，再減去a2，整個式子的值不變，于是有：
x2+2ax-3a2=（x2+2ax+a2）-a2-3a2=（x+a）2-（2a）2=（x+3a）（x-a）．
像這樣，先添-適當(dāng)項，使式中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個項，使整個式子的值不變的方法稱為“配方法”．
（1）利用“配方法”分解因式：a2-6a+8．
（2）若a+b=5，ab=6，求：①a2+b2；②a4+b4的值．
（3）已知x是實數(shù)，試比較x2-4x+5與-x2+4x-4的大小，說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

問題背景：已知x是實數(shù)，求的最小值。要解決這個問題需現(xiàn)判斷出0<x<12,繼而聯(lián)想到構(gòu)造以邊長為2+3和12為邊的矩形，找出等于的線段，再比較和矩形對角線的大小。

解：構(gòu)造矩形ABCD，使AB=5，AD=12.在AB上截取AM=3，做矩形AMND。設(shè)點P是MN上一點MP=x,則PN=12-x,

（1）        我們把上述求最值問題的方法叫做構(gòu)圖法．請仿造上述方法求的最小值。

探索創(chuàng)新：

（2）已知a,b,c,d是正實數(shù)且a+b+c+d=1，試運用構(gòu)圖法求的最小值．

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