如圖,在正方形ABCD中,點(diǎn)E是AD的中點(diǎn),連接BE、CE,點(diǎn)F是CE的中點(diǎn),連接DF、BF,點(diǎn)M是BF上一點(diǎn)且
BM
MF
=
1
2
,過(guò)點(diǎn)M做MN⊥BC于點(diǎn)N,連接FN.下列結(jié)論中:
①BE=CE;②∠BEF=∠DFE;③MN=
1
6
AB;④
S△FMN
S四邊形EFNB
=
1
6

其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是( 。
分析:設(shè)AE=a,則DE=a,AB=BC=CD=DA=2a.在正方形ABCD中,根據(jù)勾股定理可得BE=CE,故①正確;過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AD于G,F(xiàn)G交BC于H.由F是CE的中點(diǎn),得出EG=DG=
1
2
DE=
1
2
a,GF=
1
2
CD=a.再根據(jù)正切函數(shù)的定義可得tan∠AEB=tan∠GDF=2,則∠AEB=∠GDF,BE∥DF,從而有∠BEF=∠DFE,故②正確;由△EFG≌△CFH,得出FG=FH=a,由MN∥FH,根據(jù)平行線分線段成比例定理,可得MN=
1
3
FH=
1
3
a,則MN=
1
6
AB,故③正確;分別計(jì)算S△FMN與S四邊形FEBN,即可得出
S△BNF
S四邊形BEFN
=
1
6
a2
5
4
a2
=
2
15
,故④錯(cuò)誤.
解答:解:∵四邊形ABCD是正方形,
∴∠A=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°,AB=BC=CD=DA,AD∥BC.
設(shè)AE=a,則DE=a,AB=BC=CD=DA=2a.
在△ABE中,由勾股定理,得BE=
5
a,
在△CDE中,由勾股定理,得CE=
5
a,
∴BE=CE,故①正確;
過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AD于G,F(xiàn)G交BC于H.
∵AD∥BC,F(xiàn)G⊥AD,∴GH⊥BC.
∵FG∥CD,點(diǎn)F是CE的中點(diǎn),
∴EG=DG=
1
2
DE=
1
2
a,GF=
1
2
CD=a.
在直角△ABE中,∵tan∠AEB=
AB
AE
=
2a
a
=2,
在直角△GFD中,∵tan∠GDF=
GF
DG
=
a
1
2
a
=2,
∴tan∠AEB=tan∠GDF,
∵0°<∠AEB<90°,0°<∠GDF<90°,
∴∠AEB=∠GDF,
∴BE∥DF,
∴∠BEF=∠DFE,故②正確;
易證△EFG≌△CFH,則FG=FH=a,EG=CH=
1
2
a.
∵GH∥CD,GD∥HC,∠CDA=90°,
∴四邊形CDGH是矩形,
∴CH=DG=
1
2
a,
∴BH=BC-CH=
3
2
a.
∵M(jìn)N⊥BC,GH⊥BC,
∴MN∥FH,
MN
FH
=
BN
BH
=
BM
BF
=
1
3
,
∴MN=
1
3
FH=
1
3
a,BN=
1
3
BH=
1
2
a,
∴MN=
1
6
AB,故③正確;
∵BN=CH=
1
2
a,
∴NH=BC-BN-CH=a,
∴S△FMN=
1
2
MN•NH=
1
2
×
1
3
a×a=
1
6
a2
S四邊形FEBN=S正方形ABCD-S△ABE-S△CDE-S△CNF=4a2-
1
2
•2a•a-
1
2
•2a•a-
1
2
3
2
a•a=
5
4
a2
S△FMN
S四邊形EFNB
=
1
6
a2
5
4
a2
=
2
15
,故④錯(cuò)誤.
故選C.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了正方形的性質(zhì),全等三角形、相似三角形的判定與性質(zhì),平行線分線段成比例定理,作出輔助線是解題的關(guān)鍵,設(shè)輔助未知數(shù)AE=a可使問(wèn)題簡(jiǎn)化.
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(2)若EC=3,BD=2
6
,求⊙O的直徑AC的長(zhǎng)度;
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3

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2
,求另一直角邊BC的長(zhǎng).

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