Question

如圖，正方形ABCD的對角線AC、BD交于點(diǎn)M，且分正方形為四個(gè)三角形，⊙O₁、⊙O₂、⊙O₃、⊙O₄分別為△AMB、△BMC、△CMD、△DMA的內(nèi)切圓，已知AB=1．則⊙O₁、⊙O₂、⊙O₃、⊙O₄．所夾的中心（陰影）部分的面積為（　　）

• A、

  (4-π)(3-2 2 )

  16

• B、

  (3-2 2 )π

  4

• C、

  (4-π)(3-2 2 )

  4

• D、

  1-π

  16

Answer 1

分析：結(jié)合題意，四個(gè)小圓為等圓，順次連接O₁O₂O₃O₄，設(shè)O₁O₂與AD的交點(diǎn)E，利用切線的性質(zhì)可知，AE=

1

2

BC，又可根據(jù)正方形的性質(zhì)得出BD的長，即BM=

1

2

BD，從而可得出EM的長，即可得出圓的半徑為ME=MB-BE，結(jié)合圖形可知，陰影部分的面積為正方形O₁O₂O₃O₄的面積減去四個(gè)小扇形的面積．

解答：解：根據(jù)題意，順次連接O₁O₂O₃O₄，
四個(gè)小圓為等圓，且四邊形O₁O₂O₃O₄為正方形，
設(shè)O₁O₂與BD的交點(diǎn)E，
又AB=1，
故BD=

2

，BE=

1

2

，MB=

2

2

，
所以ME=

2 -1

2

，
即小圓的半徑為

2 -1

2

，
所以O(shè)₁O₂=

2

-1，
即S_正方形=3-2

2

，
又一四個(gè)扇形組成的面積S=(

2 -1

2

)2π=

3-2 2

4

π，
S_陰影=S_正方形-S=3-2

2

-

3-2 2

4

π=

(4-π)(3-2 2 )

4

；
故答案為

(4-π)(3-2 2 )

4

．

點(diǎn)評：本題主要考查了相切兩圓的性質(zhì)以及扇形面積的求法和有關(guān)正方形的有關(guān)知識(shí)，有一定的綜合性和難度，望同學(xué)們對題目多加分析和理解，認(rèn)真完成題目．