【題目】如圖(1),二次函數(shù)y=ax2﹣bx(a≠0)的圖象與x軸、直線y=x的交點(diǎn)分別為點(diǎn)A(4,0)、B(5,5).
(1)a= ,b= ,∠AOB= °;
(2)連接AB,點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn)(異于點(diǎn)A),且∠PBO=∠OBA,求點(diǎn)P的坐標(biāo) ;
(3)如圖(2),點(diǎn)C、D是線段OB上的動點(diǎn),且CD=2.設(shè)點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為m.
①過點(diǎn)C、D分別作x軸的垂線,與拋物線相交于點(diǎn)F、E,連接EF.當(dāng)CF+DE取得最大值時(shí),求m的值并判斷四邊形CDEF的形狀;
②連接AC、AD,求m為何值時(shí),AC+AD取得最小值,并求出這個(gè)最小值.
【答案】(1)1,4,45°;(2)(﹣,);(3)①m=,四邊形CDEF為平行四邊形;②m=,2
【解析】
(1)將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式,即可求解;
(2)證明△HOB≌△AOB(AAS),得OA=OH=4,即點(diǎn)H(0,4),即可求解;
(3)①則CF+DE=m﹣m2+4m+(m+2)﹣[(m+2)2﹣4(m+2)]=﹣2m2+6m+6,即可求解;
②如圖所示,過點(diǎn)A作CD的平行線,過點(diǎn)D作AC的平行線,交于點(diǎn)G,則四邊形ACDG是平行四邊形,當(dāng)A'、D、G三點(diǎn)共線時(shí),A'D+DG=A'G最短,即可求解.
(1)將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式得:,解得:,
故二次函數(shù)表達(dá)式為:y=x2+4x,
∵點(diǎn)O,B在直線y=x上,
∴OB平分∠xOy,
∴∠AOB=45;
故:答案為:1,4,45°;
(2)設(shè)直線BP交y軸于點(diǎn)H,
∵∠HOB=∠AOB=45°,∠PBO=∠OBA,BO=BO,
∴△HOB≌△AOB(AAS),
∴OA=OH=4,即點(diǎn)H(0,4),
則直線PB的表達(dá)式為:y=kx+4,將點(diǎn)B坐標(biāo)代入上式并解得:
直線PB的表達(dá)式為:y=x+4,
將上式與二次函數(shù)表達(dá)式聯(lián)立并解得:x=5或﹣(舍去正值),
則點(diǎn)P(﹣,);
(3)①由題意得:直線OB的表達(dá)式為:y=x,
設(shè)點(diǎn)C(m,m),CD=2,直線OB的傾斜角為45度,則點(diǎn)D(m+2,m+2),
則點(diǎn)F(m,m2﹣4m),點(diǎn)E[(m+2),(m+2)2﹣4(m+2)],
則CF+DE=m﹣m2+4m+(m+2)﹣[(m+2)2﹣4(m+2)]=﹣2m2+6m+6,
∵﹣2<0,故CF+DE有最大值,此時(shí),m=,
則點(diǎn)C、F、D、E的坐標(biāo)分別為(,)、(,﹣)、(,)、(,﹣),
則CF=DE=,CF∥ED,
故四邊形CDEF為平行四邊形;
②如圖所示,過點(diǎn)A作CD的平行線,過點(diǎn)D作AC的平行線,交于點(diǎn)G,則四邊形ACDG是平行四邊形,
∴AC=DG,
作點(diǎn)A關(guān)于直線OB的對稱點(diǎn)A'(0,4),連接A'D,則A'D=AD,
∴當(dāng)A'、D、G三點(diǎn)共線時(shí),A'D+DG=A'G最短,此時(shí)AC+AD最短,
∵A(4,0),AG=CD=2,
則點(diǎn)G(6,2),
則AC+AD最小值=A'G==2;
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=x2如圖所示,已知A點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1),過點(diǎn)A作AA1∥x軸交拋物線于點(diǎn)A1,過點(diǎn)A1作A1A2∥OA交拋物線于點(diǎn)A2,過點(diǎn)A2作A2A3∥x軸交拋物線于點(diǎn)A3,過點(diǎn)A3作A3A4∥OA交拋物線于點(diǎn)A4,過點(diǎn)A4作A4A5∥x軸交拋物線于點(diǎn)A5,則點(diǎn)A5的坐標(biāo)為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),拋物線y=x2﹣bx+6經(jīng)過x軸上兩點(diǎn)A,B,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,0),與y軸相交于點(diǎn)C.
(1)求拋物線的解析式;
(2)求△ABC的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(閱讀材料)在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)P(x0,y0)到直線Ax+By+C=0的距離公式是
如:求點(diǎn)P(1,2)到直線y=﹣x+1的距離d
解:將直線解析式變形為4x+3y﹣3=0,則A=4,B=3,C=﹣3
所以
(解決問題)已知直線l1的解析式是y=-x+1
(1)若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,﹣2),則點(diǎn)P到直線l1的距離是 ;
(2)若直線l2與直線l1平行,且兩條平行線間的距離是,請求出直線l2的解析式.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,在菱形ABCD中,對角線AC、BD相交于點(diǎn)O,DE∥AC,AE∥BD.
(1)求證:四邊形AODE是矩形;
(2)若AB=2,∠BCD=120°,求四邊形AODE的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線與軸的兩個(gè)交點(diǎn)是點(diǎn),(在的左側(cè)),與軸的交點(diǎn)是點(diǎn).
(1)求證:,兩點(diǎn)中必有一個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)是;
(2)若拋物線的對稱軸是,求其解析式;
(3)在(2)的條件下,拋物線上是否存在一點(diǎn),使?如果存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);如果不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】網(wǎng)癮低齡化已引起社會各界的高度關(guān)注,有關(guān)部門在全國范圍內(nèi)對12~35歲的網(wǎng)癮人群進(jìn)行了隨機(jī)抽樣查,得到了如下兩個(gè)不定整的統(tǒng)計(jì)圖,請根據(jù)圖中信息解答下列問題:
(1)求本次調(diào)查了多少名網(wǎng)癮人員?
(2)通過計(jì)算補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖,在扇形統(tǒng)計(jì)圖中,18~23歲部分的圓心角的度數(shù)為 ;
(3)目前我國12﹣35歲網(wǎng)癮人數(shù)約為3000萬,請估計(jì)其中12﹣23歲的人數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知關(guān)于x的方程x2﹣(m﹣2)x﹣=0.
(1)求證:無論m為何值,方程總有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根.
(2)設(shè)方程的兩實(shí)數(shù)根為x1,x2,且滿足(x1+x2)2=|x1|﹣|x2|+2,求m的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn),將點(diǎn)A向右平移6個(gè)單位長度,得到點(diǎn)B.
(1)直接寫出點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)若拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A,B,求拋物線的表達(dá)式;
(3)若拋物線y=-x2+bx+c的頂點(diǎn)在直線y=x+2上移動,當(dāng)拋物線與線段AB有且只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí),求拋物線頂點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍.
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