Question

【題目】如圖，已知拋物線y=﹣x2﹣x+2與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C.

⑴求點A，B，C的坐標；

⑵點E是此拋物線上的點，點F是其對稱軸上的點，求以A，B，E，F為頂點的平行四邊形的面積；

⑶此拋物線的對稱軸上是否存在點M，使得△ACM是等腰三角形？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（0，2）（2）（3）（﹣1，﹣1）或（﹣1，2+）或（﹣1，2﹣）．

【解析】（1）分別令y=0，x=0，即可解決問題；（2）由圖象可知AB只能為平行四邊形的邊，易知點E坐標（﹣7，﹣ ）或（5，﹣），由此不難解決問題；（3）分A、C、M為頂點三種情形討論，分別求解即可解決問題．

解：（1）令y=0得﹣x2﹣x+2=0，∴x2+2x﹣8=0，

x=﹣4或2，∴點A坐標（2，0），點B坐標（﹣4，0），

令x=0，得y=2，∴點C坐標（0，2）．

（2）由圖象可知AB只能為平行四邊形的邊，

∵AB=EF=6，對稱軸x=﹣1，

∴點E的橫坐標為﹣7或5，∴點E坐標（﹣7，﹣ ）或（5，﹣），此時點F（﹣1，﹣）

∴以A，B，E，F為頂點的平行四邊形的面積=6×=．

（3）如圖所示，

①當C為頂點時，CM1=CA，CM2=CA，作M1N⊥OC于N，

在RT△CM1N中，CN==，

∴點M1坐標（﹣1，2+），點M2坐標（﹣1，2﹣）．

②當M3為頂點時，

∵直線AC解析式為y=﹣x+2，線段AC的垂直平分線為y=x，

∴點M3坐標為（﹣1，﹣1）．

③當點A為頂點的等腰三角形不存在．

綜上所述點M坐標為（﹣1，﹣1）或（﹣1，2+）或（﹣1，2﹣）．

“點睛”本題考查二次函數(shù)綜合題、平行四邊形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握拋物線與坐標軸交點的求法，學會分類討論的思想，屬于中考壓軸題．