Question

如圖，已知點(diǎn)A（-3，5）在拋物線y=x²+c的圖象上，點(diǎn)P從拋物線的頂點(diǎn)Q出發(fā)，沿y軸以每秒1個單位的速度向正方向運(yùn)動，連接AP并延長，交拋物線于點(diǎn)B，分別過點(diǎn)A、B作x軸的垂線，垂足為C、D，連接AQ、BQ．
（1）求拋物線的解析式；
（2）當(dāng)A、Q、B三點(diǎn)構(gòu)成以AQ為直角邊的直角三角形時，求點(diǎn)P離開點(diǎn)Q多少時間？
（3）試探索當(dāng)AP、AC、BP、BD與一個平行四邊形的四條邊對應(yīng)相等（即這四條線段能構(gòu)成平行四邊形）時，點(diǎn)P離開點(diǎn)Q的時刻．

Answer 1

【答案】分析：（1）把點(diǎn)A（-3，5）代入拋物線y=x²+c，即可求出c的值，從而得二次函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)P為動點(diǎn)以及A、Q、B三點(diǎn)構(gòu)成以AQ為直角邊的直角三角形，分兩種情況討論：①若AQ⊥BQ，過點(diǎn)Q作MQ⊥y軸，可證△AMQ∽△QNB．②若AQ⊥AB，由于AC∥PQ，可證△AMQ∽△QAP，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答；
（3）根據(jù)AP、AC、BP、BD與一個平行四邊形的四條邊對應(yīng)相等，分三種情況討論：①AC=BD，AP=BP時，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)解答；②AC=AP時，利用勾股定理結(jié)合一次函數(shù)解析式解答．
解答：解：（1）把A（-3，5）代入得：5=×9+c，
∴c=．
（2）①若AQ⊥BQ，過點(diǎn)Q作MQ⊥y軸，過點(diǎn)Q作QN⊥BD于點(diǎn)N，
可證△AMQ∽△QNB．
∵AM=AC-MC=，MQ=3，
∴．
設(shè)B（3k，2k+），
代入拋物線解析式得：k=，即B（，）．
∴直線AB的解析式為：．
∴OP=，
∴PQ=2．
②若AQ⊥AB，
∵AC∥PQ，可證△AMQ∽△QAP，
又由勾股定理得AQ=．
∴PQ=．
∴對應(yīng)的時刻t為：2或．
（3）①若AC=BD，AP=BP，
此時點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于y軸對稱，
∴OP=AC=5，
∴PQ=4．
②若AC=AP，
設(shè)P（0，y），則：9+（y-5）²=25，
解之得，y=1，即OP=1．
∴PQ=．
此時，直線AP解析式為：．
與拋物線的交點(diǎn)B為（，），
∴PB==BD．
∴滿足條件的時刻為：和4．
點(diǎn)評：本題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象交點(diǎn)的求法等知識點(diǎn)．主要考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合及分類討論的數(shù)學(xué)思想方法．