Question

四邊形ABCD是平行四邊形，AB=3，AD= 5，高DE=2．建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，其中點(diǎn)A與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合．

1.求BC邊所在直線的解析式；

2.設(shè)點(diǎn)F為直線BC與y軸的交點(diǎn)，求經(jīng)過點(diǎn)B，D，F(xiàn)的拋物線解析式；

3.判斷▱ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)G是否在（2）中的拋物線上，并說明理由．

 

Answer 1

【答案】

 

1.過點(diǎn)C作CH⊥x軸于H，

在Rt△BCH中，BC=AD= 5 ，CH=DE=2，

∴BH=，

又∵AB=3，

∴AH=AB+BH=4．

∴B（3，0），C（4，2）．

設(shè)BC所在直線的解析式為y=kx+b，

將B（3，0），C（4，2）代入得

0=3k+b

2=4k+b   ，

解得k=2，b=-6，

∴BC邊所在直線的解析式為y=2x-6；

2.在Rt△ADE中，AE=1，

∴D（1，2），

設(shè)點(diǎn)F（0，b），代入y=2x-6，得b=-6，

∴F（0，-6）．

設(shè)經(jīng)過點(diǎn)B，D，F(xiàn)的拋物線為y=ax²+bx+c，

由題意，得

解得a=-3，b=11，c=-6．

∴拋物線的解析式為y=-3x²+11x-6；

3.▱ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)G不在（2）中的拋物線上．

連接AC、BD相交于G，過G作GM⊥x軸于M，則GM∥CH∥DE．

∵AG=GC，

∴AM=MH= AH=2，GM= CH=1，

∴點(diǎn)G（2，1）．

把x=2，代入y=-3x²+11x-6，得y=4≠1，

∴點(diǎn)G（2，1）不滿足y=-3x²+11x-6，

即（2）中的拋物線不經(jīng)過□ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)．

【解析】

1.根據(jù)題意不難得出B點(diǎn)的坐標(biāo)，因此本題的關(guān)鍵是求出C點(diǎn)的坐標(biāo)，可過C作CH⊥x軸于H，可在直角三角形CBH中，根據(jù)CH和BC的長(zhǎng)求出BH的長(zhǎng)，也就求出了OH的長(zhǎng)，由此可得出C點(diǎn)的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法即可求出直線BC的解析式；

2.仿照（1）求C點(diǎn)坐標(biāo)的方法不難得出D點(diǎn)的坐標(biāo)，而F點(diǎn)的坐標(biāo)可用直線BC的解析式求得，由此可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；

3.過G作x軸的垂線GM，根據(jù)平行四邊形的對(duì)角線互相平分，不難得出GM是△ACH的中位線，因此G點(diǎn)的橫坐標(biāo)是C點(diǎn)橫坐標(biāo)的一半，縱坐標(biāo)是C點(diǎn)縱坐標(biāo)的一半，然后將G點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線中，即可判斷出G點(diǎn)是否在拋物線上．