【題目】已知如圖,以Rt△ABC的AC邊為直徑作⊙O交斜邊AB于點E,連接EO并延長交BC的延長線于點D,點F為BC的中點,連接EF.

(1)求證:EF是⊙O的切線;

(2)若⊙O的半徑為3,∠EAC=60°,求AD的長.

【答案】(1)證明見解析;(2AD=

【解析】試題分析:(1)連接FO,由FBC的中點,AO=CO,得到OF∥AB,由于AC⊙O的直徑,得出CE⊥AE,根據(jù)OF∥AB,得出OF⊥CE,于是得到OF所在直線垂直平分CE,推出FC=FE,OE=OC,再由∠ACB=90°,即可得到結論.

2)證出△AOE是等邊三角形,得到∠EOA=60°,再由直角三角形的性質即可得到結果.

試題解析:(1)如圖1,連接FO,

∵FBC的中點,AO=CO,

∴OF∥AB

∵AC⊙O的直徑,

∴CE⊥AE,

∵OF∥AB,

∴OF⊥CE

∴OF所在直線垂直平分CE,

∴FC=FEOE=OC,

∴∠FEC=∠FCE∠0EC=∠0CE,

∵∠ACB=90°,

即:∠0CE+∠FCE=90°,

∴∠0EC+∠FEC=90°,

即:∠FEO=90°

∴FE⊙O的切線;

2)如圖2∵⊙O的半徑為3,

∴AO=CO=EO=3,

∵∠EAC=60°OA=OE,

∴∠EOA=60°,

∴∠COD=∠EOA=60°

Rt△OCD中,∠COD=60°OC=3,

∴CD=,

Rt△ACD中,∠ACD=90°,

CD=,AC=6,

∴AD=

練習冊系列答案
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(1)觀察猜想

如圖1,當點D在線段BC上時,

①BC與CF的位置關系為:   

②BC,CD,CF之間的數(shù)量關系為:   ;(將結論直接寫在橫線上)

(2)數(shù)學思考

如圖2,當點D在線段CB的延長線上時,結論①,②是否仍然成立?若成立,請給予證明;若不成立,請你寫出正確結論再給予證明.

(3)拓展延伸

如圖3,當點D在線段BC的延長線上時,延長BA交CF于點G,連接GE.若已知AB=2,CD=BC,請求出GE的長.

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(2)如圖2,當點 不與 重合時,(1)中的結論還成立嗎?請說明理由.
(3)如圖3,延長 于點 ,若 ,且
①求 的度數(shù);
②當 , 時,求 的長.

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C.2個
D.1個

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(1)求該反比例函數(shù)的解析式;
(2)求△BOD的面積.

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