Question

【題目】如圖，在中，，AC＝BC，點(diǎn)D是AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連結(jié)BD．將繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，延長(zhǎng)AE交BD于F．

（1）依據(jù)題意補(bǔ)全圖1；

（2）判斷AE與BD的位置關(guān)系，說明理由；

（3）連結(jié)CF，求的度數(shù)．

要想求出的度數(shù)，小明經(jīng)過思考，得到了以下幾種想法：

想法1：在AF上取一點(diǎn)G，使得AG＝BF，需要先證明，然后再證明是等腰直角三角形．

想法2：取AB的中點(diǎn)O，連接OC，OF，只需要利用圓的性質(zhì)證明．

想法3：將繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到，只需證明是等腰直角三角形．

請(qǐng)你參考上面的想法，幫助小明求解．（寫出一種方法即可）

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）詳見解析.

【解析】

（1）根據(jù)題意補(bǔ)全圖形即可；

（2）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，再利用同角的余角相等即可得出結(jié)論；

（3）想法1、利用SAS判斷出即可得出結(jié)論；想法2、利用即可判斷出點(diǎn)A，B，F，C四點(diǎn)在以O為圓心OA為半徑的圓上即可得出結(jié)論；想法3，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)判斷出是等腰直角三角形即可得出結(jié)論．

（1）補(bǔ)全圖形如圖1所示．

（2）∵將繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到

，

．

，

．

．

，

．

．

（3）想法1、如圖2， 在AF上取一點(diǎn)G，使得，連接CG．

，，，

．

，．

，

．

∴△CFG是等腰直角三角形．

．

想法2、如圖3，

取AB的中點(diǎn)O，連接OC，OF，CF，

是直角三角形，

，

由（2）知，，

，

，

∴點(diǎn)A，B，F，C在以O為圓心，OA為半徑的圓上，

，

想法3、如圖4，

將繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，

，，

是等腰直角三角形，

，

由（1），

∴點(diǎn)G在BD的延長(zhǎng)線上，

由（2）知，，

．