Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，CD⊥AB于點(diǎn)D，點(diǎn)E為AC邊上一點(diǎn)，連接BE交CD于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥BE交AB于點(diǎn)G，
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E為AC中點(diǎn)時(shí)，線段EF與EG的數(shù)量關(guān)系是

EF=EG

；
（2）如圖2，當(dāng)

CE

AE

=

1

2

，探究線段EF與EG的數(shù)量關(guān)系并且證明；
（3）如圖3，當(dāng)

CE

AE

=

1

n

，線段EF與EG的數(shù)量關(guān)系是

EF

EG

=

1

n

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)全等三角形的證明方法利用ASA得出△EFM≌△EGN，即可得出EF=EG；
（2）根據(jù)已知首先求出∠ENG=∠FEM，再得出∠ENG=∠EMF，即可得出△EFM∽△EGN，再利用相似三角形的性質(zhì)得出答案即可．

解答：解：（1）證明：如圖1，過(guò)E作EM⊥AB于M，EN⊥CD于N，
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠A=∠ABC=45°，
∴AD=CD，
∵點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，CD⊥AB，EN⊥DC，
∴EN=

1

2

AD，
∴EM=

1

2

CD，
∴EN=EM，
∵∠GEB=90°，∠MEN=90°，
∴∠NEF=∠GEM，
∴

∠NEF=∠GEM EN=EM ∠ENF=∠EMG

，
∴△EGM≌△EFN，（ASA）
∴EG=EF

（2）

EF

EG

=

1

2

證明如圖（2）：過(guò)點(diǎn)E作EM⊥CD于點(diǎn)M，作EN⊥AB于點(diǎn)N，

∴∠ENA=∠CME=∠EMF=90°．
∵CD⊥AB于點(diǎn)D，
∴∠CDA=90°．
∴EM∥AD．∠A=∠CEM．
∴△EMC∽△ANE．∴

CE

AE

=

EM

AN

∵EM∥AD，∴∠NEM=90．即∠1+∠2=90°．
∵EG⊥BE，∴∠3+∠2=90°，
∴∠MEF=∠GEN．
∴△EFM∽△EGN．∴

EF

EG

=

EM

EN

．
∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠A=45°，∴AN=EN．
∴

EF

EG

=

EM

AN

，
∴

CE

AE

=

EF

EG

∵

CE

AE

=

1

2

，
∴

EF

EG

=

1

2

．

（3）∴

EF

EG

=

1

n

 證明如圖（3）：過(guò)點(diǎn)E作EM⊥CD于點(diǎn)M，作EN⊥AB于點(diǎn)N，
∴∠ENA=∠CME=∠EMF=90°．
∵CD⊥AB于點(diǎn)D，
∴∠CDA=90°．
∴EM∥AD．∠A=∠CEM．
∴△EMC∽△ANE．∴

CE

AE

=

EM

AN

∵EM∥AD，∴∠NEM=90．即∠2+∠3=90°．
∵EG⊥BE，∴∠3+∠2=90°，
∴∠MEF=∠GEN．
∴△EFM∽△EGN．∴

EF

EG

=

EM

EN

．
∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠A=45°，∴AN=EN．
∴

EF

EG

=

EM

AN

，
∴

CE

AE

=

EF

EG

∵

CE

AE

=

1

n

∴

EF

EG

=

1

n

，

故答案為：（1）EF=EG，（3）

EF

EG

=

1

n

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用．