【題目】閱讀下面材料:

小明遇到這樣一個問題:如圖1,△ABC中,AB=AC,點D在BC邊上,∠DAB=∠ABD,BE⊥AD,垂足為E,求證:BC=2AE.

小明經(jīng)探究發(fā)現(xiàn),過點A作AF⊥BC,垂足為F,得到∠AFB=∠BEA,從而可證△ABF≌△BAE(如圖2),使問題得到解決.

(1)根據(jù)閱讀材料回答:△ABF與△BAE全等的條件是 AAS(填“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”或“HL”中的一個)

參考小明思考問題的方法,解答下列問題:

(2)如圖3,△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D為BC的中點,E為DC的中點,點F在AC的延長線上,且∠CDF=∠EAC,若CF=2,求AB的長;

(3)如圖4,△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,點D、E分別在AB、AC邊上,且AD=kDB(其中0<k<),∠AED=∠BCD,求的值(用含k的式子表示).

【答案】(1)AAS;(2)AB=4;(3)

【解析】

試題分析:(1)作AFBC,根據(jù)已知條件易得AFB=BEA,DAB=ABD,AB=AB,根據(jù)AAS可判斷出ABF≌△BAE;(2)連接AD,作CGAF,易得tanDAE=,再由tanF=tanDAE,求出CG,再證DCG∽△ACE,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出AC;(3)過點D作DGBC,設DG=a,在RtABH,RtADN,RtABH中分別用a,k表示出AB=2a(k+1),BH=a(k+1),BC=2BH=2a(k+1),CG=a(2k+1),DN=ka,最后用NDE∽△GDC,求出AE,EC即可.

試題解析:證明:(1)如圖2,

作AFBC,

BEAD,∴∠AFB=BEA,

ABF和BAE中,

,

∴△ABF≌△BAE(AAS),

BF=AE

AB=AC,AFBC,

BF=BC,

BC=2AE,

故答案為AAS

(2)如圖3,

連接AD,作CGAF,

在RtABC中,AB=AC,點D是BC中點,

AD=CD,

點E是DC中點,

DE=CD=AD,

tanDAE==,

AB=AC,BAC=90°,點D為BC中點,

∴∠ADC=90°,ACB=DAC=45°

∴∠F+CDF=ACB=45°,

∵∠CDF=EAC,

∴∠F+EAC=45°,

∵∠DAE+EAC=45°

∴∠F=DAE,

tanF=tanDAE=

,

CG=×2=1,

∵∠ACG=90°,ACB=45°,

∴∠DCG=45°,

∵∠CDF=EAC,

∴△DCG∽△ACE,

,

CD=AC,CE=CD=AC,

,

AC=4;

AB=4;

(3)如圖4,

過點D作DGBC,設DG=a,

在RtBGD中,B=30°

BD=2a,BG=a,

AD=kDB,

AD=2ka,AB=BD+AD=2a+2ka=2a(k+1),

過點A作AHBC,

在RtABH中,B=30°

BH=a(k+1),

AB=AC,AHBC,

BC=2BH=2a(k+1),

CG=BCBG=a(2k+1),

過D作DNAC交CA延長線與N,

∵∠BAC=120°,

∴∠DAN=60°,

∴∠ADN=30°

AN=ka,DN=ka,

∵∠DGC=AND=90°,AED=BCD,

∴△NDE∽△GDC.

,

,

NE=3ak(2k+1),

EC=ACAE=ABAE=2a(k+1)2ak(3k+1)=2a(13k2),

練習冊系列答案
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