Question

我們常見的炒菜鍋和鍋蓋都是拋物線面，經(jīng)過鍋心和蓋心的縱斷面是兩端拋物線組合而成的封閉圖形，不妨簡稱為“鍋線”，鍋口直徑為6dm，鍋深3dm，鍋蓋高1dm（鍋口直徑與鍋蓋直徑視為相同），建立直角坐標(biāo)系如圖①所示，如果把鍋縱斷面的拋物線記為C₁，把鍋蓋縱斷面的拋物線記為C₂．
（1）求C₁和C₂的解析式；
（2）如圖②，過點(diǎn)B作直線BE：y=x-1交C₁于點(diǎn)E（-2，-），連接OE、BC，在x軸上求一點(diǎn)P，使以點(diǎn)P、B、C為頂點(diǎn)的△PBC與△BOE相似，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）如果（2）中的直線BE保持不變，拋物線C₁或C₂上是否存在一點(diǎn)Q，使得△EBQ的面積最大？若存在，求出Q的坐標(biāo)和△EBQ面積的最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由于拋物線C₁、C₂都過點(diǎn)A（-3，0）、B（3，0），可設(shè)它們的解析式為：y=a（x-3）（x+3）；
拋物線C1還經(jīng)過D（0，-3），則有：
-3=a（0-3）（0+3），a=
即：拋物線C₁：y=x²-3（-3≤x≤3）；
拋物線C₂還經(jīng)過C（0，1），則有：
1=a（0-3）（0+3），a=-
即：拋物線C₂：y=-x²+1（-3≤x≤3）．

（2）由于直線BE：y=x-1必過（0，-1），所以∠CBO=∠EBO（tan∠CBO=tan∠EBO=）；
由E點(diǎn)坐標(biāo)可知：tan∠AOE≠，即∠AOE≠∠CBO，所以它們的補(bǔ)角∠EOB≠∠CBx；
若以點(diǎn)P、B、C為頂點(diǎn)的△PBC與△BOE相似，只需考慮兩種情況：
①∠CBP₁=∠EBO，且OB：BE=BP₁：BC，即：
3：=BP₁：，得：BP₁=，OP₁=OB-BP₁=；
∴P₁（，0）；
②∠P₂BC=∠EBO，且BC：BP₂=OB：BE，即：
：BP₂=3：，得：BP₂=，OP₂=BP₂-OB=；
∴P₂（-，0）；
綜上，符合條件的P點(diǎn)有：P₁（，0）、P₂（-，0）．
（3）如圖，作直線l∥直線BE，設(shè)直線l：y=x+b；
①當(dāng)直線l與拋物線C₁只有一個交點(diǎn)時：
x+b=x²-3，即：x²-x-（3b+9）=0，
∴△=1+4（3b+9）=0，
解得，3b+9=-，
∴x²-x+=0
∴該交點(diǎn)Q₂（，-）；
Q₂到直線 BE：x-y-1=0 的距離：==；
②當(dāng)直線l與拋物線C₂只有一個交點(diǎn)時：
x+b=-x²+1，即：x²+3x+9b-9=0，
∴該交點(diǎn)Q₁（-，）；
Q₁到直線 BE：x-y-1=0 的距離：=；
∴符合條件的Q點(diǎn)為Q₁（-，）；
△EBQ的最大面積：S_max=×BE×=．
方法二：
當(dāng)點(diǎn)Q在C₁上時，可設(shè)Q（m，x²-3），過Q作QM平行y軸交BE于M，則M（m，x-1），
則BM=x-1-（x²-3）=-（m+0.5）²+，所以當(dāng)m=-0.5時BM最大值為，
所以 S△EBQ最大=S△EQM+S△BQM=（xB-xE）×=0.5×5×=，
同理可得，Q在C ₂上時，最大面積為，
綜上最大面積為．
分析：（1）已知A、B、C、D四點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可確定兩函數(shù)的解析式．
（2）根據(jù)直線BE：y=x-1知，該直線必過（0，-1）點(diǎn)，那么∠EBO=∠CBO，若以點(diǎn)P、B、C為頂點(diǎn)的△PBC與△BOE相似，那么夾這組對應(yīng)角的對應(yīng)邊必成比例，先求出BC、BO、BE的長，然后分情況根據(jù)線段間的比例關(guān)系求出BP的長，進(jìn)而得到OP的長，即可確定P點(diǎn)坐標(biāo)．
（3）△EBQ中，BE長為定值，若以BE為底，當(dāng)△EBQ的面積最大時，Q到直線BE的距離最大；由于點(diǎn)Q可能在拋物線C₁或C₂上，因此兩種情況都要解一下，最后通過比較得到能使△EBQ面積最大的Q點(diǎn)．首先作直線l∥BE，分別令直線l與拋物線C₁、C₂有且僅有一個交點(diǎn)，那么符合條件的Q點(diǎn)必在這兩個交點(diǎn)中，先求出這兩個交點(diǎn)分別到直線BE的距離，距離大者符合條件，由此可得到Q點(diǎn)坐標(biāo)和△EBQ的面積最大值．
點(diǎn)評：考查了二次函數(shù)綜合題．該題的難度和計算量都比較大，涉及了函數(shù)解析式的確定、相似三角形的判定和性質(zhì)、圖形面積的解法等重點(diǎn)知識；解答（2）題時，應(yīng)注意分不同的對應(yīng)邊來進(jìn)行討論，以免漏解．（3）的難度較大，點(diǎn)到直線的距離公式【點(diǎn)（x₀，y₀）到直線（Ax+By+C=0）的距離為：d=】是需要記住的內(nèi)容．另外，題目在設(shè)計時結(jié)合了一定的生活元素，形式較為新穎．