【題目】1)如圖1,將直角的頂點(diǎn)E放在正方形ABCD的對(duì)角線AC上,使角的一邊交CD于點(diǎn)F,另一邊交CB或其延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,求證:EF=EG;

2)如圖2,將(1)中的正方形ABCD”改成矩形ABCD”,其他條件不變.若AB=mBC=n,試求的值;

3)如圖3,將直角頂點(diǎn)E放在矩形ABCD的對(duì)角線交點(diǎn),EF、EG分別交CDCB于點(diǎn)FG,且EC平分FEG.若AB=2BC=4,求EGEF的長(zhǎng).

考點(diǎn):四邊形綜合題.

【答案】

【解析】

試題分析:1)首先過點(diǎn)E分別作BC、CD的垂線,垂足分別為H、P,然后利用ASA證得RtFEPRtGEH,則問題得證;

2)首先過點(diǎn)E分別作BC、CD的垂線,垂足分別為M、N,易證得EMAB,ENAD,則可證得CEN∽△CAD,CEM∽△CAB,又由有兩角對(duì)應(yīng)相等的三角形相似,證得GME∽△FNE,根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例,即可求得答案;

3)過點(diǎn)EEMBCM,過點(diǎn)EENCDN,垂足分別為M、N,過點(diǎn)CCPEGEG的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P,過點(diǎn)CCQEF垂足為Q,可得四邊形EPCQ是矩形,四邊形EMCN是矩形,可得EC平分FEG,可得矩形EPCQ是正方形,然后易證PCG≌△QCFAAS),進(jìn)而可得:CG=CF,由(2)知:==2,進(jìn)而可得:EF=2EG,然后易證EMEN分別是ABCBCD的中位線,進(jìn)而可得:EM=1,EN=2MC=2,CN=1,然后易證EMG∽△ENF,進(jìn)而可得,即NF=2MG,然后設(shè)MG=x,根據(jù)CG=CF,列出方程即可解出x的值,即MG的值,然后在RtEMG中,由勾股定理即可求出EG的值,進(jìn)而可得EF的值.

1)證明:如圖1,過點(diǎn)EEHBCH,過點(diǎn)EEPCDP,

四邊形ABCD為正方形,

CE平分BCD

EHBC,EPCD,

EH=EP,

四邊形EHCP是正方形,

∴∠HEP=90°,

∵∠GEH+HEF=90°,PEF+HEF=90°

∴∠PEF=GEH,

RtFEPRtGEH,

EF=EG;

2)解:如圖2,過點(diǎn)EEMBCM,過點(diǎn)EENCDN,垂足分別為M、N,

MEN=90°

EMAB,ENAD

∴△CEN∽△CADCEM∽△CAB,

,

,

;

3)解:如圖3

過點(diǎn)EEMBCM,過點(diǎn)EENCDN,垂足分別為M、N,

過點(diǎn)CCPEGEG的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P,過點(diǎn)CCQEF垂足為Q,

則四邊形EPCQ是矩形,四邊形EMCN是矩形,

EC平分FEG,

CQ=CP

矩形EPCQ是正方形,

∴∠QCP=90°,

∴∠QCG+PCG=90°,

∵∠QCG+QCF=90°,

∴∠PCG=QCF,

PCGQCF中,

,

∴△PCG≌△QCFAAS),

CG=CF

由(2)知:=,

BC=4AB=2,

==2,

EF=2EG,

點(diǎn)E放在矩形ABCD的對(duì)角線交點(diǎn),

EMEN分別是ABCBCD的中位線,

EM=AB=1,EN=AD==2MC=,CN=

四邊形EMCN是矩形,

∴∠NEM=90°,

∴∠MEG+GEN=90°,

∵∠GEF=90°

∴∠FEN+GEN=90°,

∴∠MEG=FEN,

∵∠EMG=FNE=90°,

∴△EMG∽△ENF,

NF=2MG,

設(shè)MG=x,則NF=2x,CG=2﹣x,CF=1+2x

CG=CF,

2﹣x=1+2x,

解得:x=,

MG=

RtEMG中,由勾股定理得:

EG==

EF=2EG,

EF=

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