Question

已知正比例函數(shù)y₁=2x和一次函數(shù)y₂=-x+b，一次函數(shù)的圖象與x軸、y軸分別交于點A、點B，正比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象相交于點P．
（1）若P點坐標為（3，n），試求一次函數(shù)的表達式，并用圖象法求y₁≥y₂的解；
（2）若S_△AOP=3，試求這個一次函數(shù)的表達式；
（3）x軸上有一定點E（2，0），若△POB≌△EPA，求這個一次函數(shù)的表達式．

Answer 1

解：（1）∵正比例函數(shù)y₁=2x和一次函數(shù)y₂=-x+b的圖象相交于點P，P點坐標為（3，n），
∴代入正比例函數(shù)求得n=6，
∴點P的坐標為（3，6），
∴代入y₂=-x+b得b=9，
所以一次函數(shù)的表達式為y₂=-x+9；
圖象為：

∴y₁≥y₂的解為：x≤3；

（2）∵一次函數(shù)y₂=-x+b的圖象與x軸、y軸分別交于點A（b，0）、點B（0，b），兩函數(shù)的圖象交與點（，），
∴S_△AOP=×b×=3，
解得：b=±3，
所以一次函數(shù)的表達式為：y₂=-x±3；

（3）當b＞0時，如圖：

∵△POB≌△EPA，
∴PO=PE，
∵E（2，0），
∴點P的橫坐標為1，
∵點P在y=2x上，
∴點P的縱坐標為2，
∴點P的坐標為（1，2），
∴代入y₂=-x+b得：y₂=-x+3；
當b＜0時，如圖：

∵△POB≌△EPA，
∴PO=PE，
∵點P在第三象限，
∴不成立；
綜上所敘：若△POB≌△EPA時，一次函數(shù)的表達式為y=-x+3．
分析：（1）將點P的坐標代入到正比例函數(shù)中求得n值，然后代入到一次函數(shù)中即可確定其表達式，然后根據(jù)其圖象的位置和交點坐標確定不等式的解集；
（2）用b表示出點A和點P的坐標，根據(jù)S_△AOP=3求得點P的坐標即可求得一次函數(shù)的表達式；
（3）分一次函數(shù)經(jīng)過一、二、四象限和經(jīng)過二、三、四象限兩種情況并利用全等三角形的性質(zhì)求得一次函數(shù)的表達式即可．
點評：本題考查了一次函數(shù)的綜合知識，特別是本題中與三角形的面積的知識相結(jié)合使得問題變難，此類題目往往是中考的壓軸題，應該重點掌握．