Question

如圖所示，拋物線y=ax²+c（a＞0）經(jīng)過梯形ABCD的四個頂點，梯形的底AD在x軸上，其中A（-2，0），B（-1，-3）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點M為y軸上任意一點，當點M到A，B兩點的距離之和為最小時，求此時點M的坐標；
（3）在第（2）問的結論下，拋物線上的點P使S_△PAD=4S_△ABM成立，求點P的坐標．

Answer 1

（1）由題意可得：

4a+c=0 a+c=-3

，
解得

a=1 c=-4

；
∴拋物線的解析式為：y=x²-4；

（2）由于A、D關于拋物線的對稱軸（即y軸）對稱，連接BD．
則BD與y軸的交點即為M點；
設直線BD的解析式為：y=kx+b（k≠0），則有：

-k+b=-3 2k+b=0

，
解得

k=1 b=-2

；
∴直線BD的解析式為y=x-2，點M（0，-2）；

（3）設BC與y軸的交點為N，則有N（0，-3）；
∴MN=1，BN=1，ON=3；
S_△ABM=S_梯形AONB-S_△BMN-S_△AOM=

1

2

（1+2）×3-

1

2

×2×2-

1

2

×1×1=2；
∴S_△PAD=4S_△ABM=8；
由于S_△PAD=

1

2

AD•|y_P|=8，
即|y_P|=4；
當P點縱坐標為4時，x²-4=4，
解得x=±2

2

，
∴P₁（-2

2

，4），P₂（2

2

，4）；
當P點縱坐標為-4時，x²-4=-4，
解得x=0，
∴P₃（0，-4）；
故存在符合條件的P點，且P點坐標為：P₁（-2

2

，4），P₂（2

2

，4），P₃（0，-4）．