Question

已知：AD既是△ABC的角平分線又是BC邊上的中線，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
求證：BE=CF．

Answer 1

證明：方法一：∵AD是∠BAC的平分線，
∴∠BAD=∠CAD，
∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴∠AED=∠AFD=90°，
在△AED和△AFD中，
∵

∠BAD=∠CAD ∠AED=∠AFD=90° AD=AD

，
∴△AED≌△AFD（AAS），
∴DE=DF，
∵AD是BC邊的中線，
∴BD=CD，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，

BD=CD DE=DF

，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴BE=CF．

方法二：∵AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE=DF，
∵AD是BC邊的中線，
∴BD=CD，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，

BD=CD DE=DF

，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴BE=CF．