如圖,⊙O是△ABC的外接圓,F(xiàn)H是⊙O的切線,切點為F,F(xiàn)H∥BC,連接AF交BC于E,∠ABC的平分線BD交AF于D,連接BF.
(1)證明:AF平分∠BAC;
(2)證明:BF=FD;
(3)若EF=4,DE=3,求AD的長.

【答案】分析:(1)連接OF,通過切線的性質(zhì)證OF⊥FH,進(jìn)而由FH∥BC,得OF⊥BC,即可由垂徑定理得到F是弧BC的中點,根據(jù)圓周角定理可得∠BAF=∠CAF,由此得證;
(2)求BF=FD,可證兩邊的對角相等;易知∠DBF=∠DBC+∠FBC,∠BDF=∠BAD+∠ABD;觀察上述兩個式子,∠ABD、∠CBD是被角平分線平分∠ABC所得的兩個等角,而∠CBF和∠DAB所對的是等弧,由此可證得∠DBF=∠BDF,即可得證;
(3)由EF、DE的長可得出DF的長,進(jìn)而可由(2)的結(jié)論得到BF的長;然后證△FBE∽△FAB,根據(jù)相似三角形得到的成比例線段,可求出AF的長,即可由AD=AF-DF求出AD的長.
解答:(1)證明:連接OF
∵FH是⊙O的切線
∴OF⊥FH(1分)
∵FH∥BC,
∴OF垂直平分BC(2分)

∴AF平分∠BAC(3分)

(2)證明:由(1)及題設(shè)條件可知
∠1=∠2,∠4=∠3,∠5=∠2(4分)
∴∠1+∠4=∠2+∠3
∴∠1+∠4=∠5+∠3(5分)
∵∠1+∠4=∠BDF,∠5+∠3=∠FBD,
∴∠BDF=∠FBD,
∴BF=FD(6分)

(3)解:在△BFE和△AFB中
∵∠5=∠2=∠1,∠AFB=∠AFB,
∴△BFE∽△AFB(7分)
,(8分)
∴BF2=FE•FA
(9分),EF=4,BF=FD=EF+DE=4+3=7,

∴AD=AF-DF=AF-(DE+EF)==(10分)
點評:此題主要考查了切線的性質(zhì)、圓周角定理及相似三角形的判定和性質(zhì).
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