Question

已知實數a，b，c，r，p滿足pr＞1，pc-2b+ra=0，求證：一元二次方程ax²+2bx+c=0必有實數根．

Answer 1

分析：先計算出△，由pc-2b+ra=0消去△中的b，然后把△變形為（pc-ra）²+4ac（pr-1），無論ac為何值（a≠0），必有△≥0．

解答：證明：由已知得2b=pc+ra，
所以△=（2b）²-4ac=（pc+ra）²-4ac
=p²c²+2pcra+r²a²-4ac
=p²c²-2pcra+r²a²+4pcra-4ac
=（pc-ra）²+4ac（pr-1）．
由已知pr-1＞0，又（pc-ra）²≥0，
所以當ac≥0時，△≥0；
當ac＜0時，也有△=（2b）²-4ac＞0．
綜上，總有△≥0，
故原方程必有實數根．

點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數）根的判別式．當△＞0，方程有兩個不相等的實數根；當△=0，方程有兩個相等的實數根；當△＜0，方程沒有實數根．同時考查了代數式的變形能力．