如圖,AD、BE為△ABC的高,AD、BE相交于點F,已知∠ACB=60°,∠ABC=45°.猜測DF與AC間有何數(shù)量關系?請說明理由.
分析:根據(jù)AD⊥BC,∠ABC=45°,易求∠BAD=45°,從而可得AD=BD,再根據(jù)∠ADC=90°,∠ACB=60°,易求∠DAC=30°,而∠AEB=90°,易求∠AFE=60°,那么∠BFD=60°,也就是∠DBF=30°,從而可求∠ACD=∠BFD,利用AAS可證△BDF≌△ACD,從而有BF=AC,在Rt△BDF中,易知∠DBF=30°,根據(jù)30°的角所對的便等于斜邊的一半,可得DF=
1
2
BF,
進而有DF=
1
2
AC.
解答:解:DF=
1
2
AC.
∵AD⊥BC,
∴∠ADB=90°,
∵∠ABC=45°,
∴∠BAD=45°,
∴∠ABD=∠BAD,
∴AD=BD,
∵∠ADC=90°,∠ACB=60°,
∴∠DAC=30°,
∵BE⊥AC,
∴∠AEB=90°,
∴∠AFE=90°-30°=60°,
∴∠BFD=∠AFE=60°,
∴∠ACD=∠BFD,
在△BFD和△ACD中,∠ACD=∠BFD,∠ADC=∠BDF=90°,BD=AD,
∴△BDF≌△ACD,
∴BF=AC,
在Rt△BDF中,∠BFD=60°,那么∠DBF=30°,
∴DF=
1
2
BF,
∴DF=
1
2
AC.
點評:本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì),解題的關鍵是求出∠BFD=60°,進而證明△BDF≌△ACD.
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