Question

如圖9，拋物線與軸交于A、B兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)C（0，）.
（1）求拋物線的對(duì)稱軸及的值；
（2）拋物線的對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)P，使得的值最小，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)M是拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，且在第三象限.
①當(dāng)M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，△AMB的面積最大？求出△AMB的最大面積及此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；
②當(dāng)M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形AMCB的面積最大？求出四邊形AMCB的最大面積及此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo).

Answer 1

解：（1）拋物線的對(duì)稱軸為：直線.…………(1分)
∵拋物線過(guò)點(diǎn)C（0，），則，
∴.…………(2分)
（2）如圖9，

根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知，當(dāng)P點(diǎn)在線段AC上就可使的值最小，
又因?yàn)镻點(diǎn)要在對(duì)稱軸上，所以P點(diǎn)應(yīng)為線段AC與對(duì)稱軸直線的交點(diǎn).
由（1）可知，拋物線的表達(dá)式為：.
令，則，解得：，.
則點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是A（，0）、B（，0）.
設(shè)直線AC的表達(dá)式為，則
  解得：
所以直線AC的表達(dá)式為.…………(3分)
當(dāng)時(shí)， ，
所以，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）. ………… (4分)
（3）①依題意得：
當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，△AMB的面積最大.
由拋物線表達(dá)式可知，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，）.
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，）. …………(5分)
△AMB的最大面積. …………(6分)
②方法一：
如圖9，過(guò)點(diǎn)M作軸于點(diǎn)H，連結(jié)、、.
點(diǎn)M在拋物線上，且在第三象限，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，），則


…………(7分)
.
當(dāng)時(shí)，四邊形AMCB的面積最大，最大面積為.………(8分)
當(dāng)時(shí)，.
∴四邊形AMCB的面積最大時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，）. (9分)
方法二：
如圖9，過(guò)點(diǎn)M作軸于點(diǎn)H，交直線AC于點(diǎn)N，連結(jié)、、.
點(diǎn)M在拋物線上，且在第三象限，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，），則
點(diǎn)N的坐標(biāo)為（，），則.
則
…………(7分)
.
當(dāng)時(shí)，四邊形AMCB的面積最大，最大面積為.………(8分)
當(dāng)時(shí)，.
∴四邊形AMCB的面積最大時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，）. (9分)解析:
略