Question

如圖，已知直角坐標(biāo)系中一條圓弧經(jīng)過(guò)正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)A、B、C．
（1）用直尺和圓規(guī)畫(huà)出該圓弧所在圓的圓心M的位置（不用寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）．
（2）若A點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，4），D點(diǎn)的坐標(biāo)為（7，0），求證：直線(xiàn)CD是⊙M的切線(xiàn)．
（3）在（2）的條件下，連接MA、MC，將扇形AMC卷成一個(gè)圓錐，求此圓錐的高．

Answer 1

分析：（1）連接AB、BC，分別作AB、BC的垂直平分線(xiàn)，兩條直線(xiàn)相交于點(diǎn)M；
（2）由A得到坐標(biāo)是（0，4），可知B點(diǎn)坐標(biāo)是（4，4），C點(diǎn)坐標(biāo)是（6，2），設(shè)過(guò)C點(diǎn)與x軸垂直的直線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)為E，連接MC，作直線(xiàn)CD，在Rt△CME中，利用勾股定理可求CM²，同樣在Rt△CED中利用勾股定理可求CD²，而根據(jù)數(shù)值可知CM²+CD²=DM²，故利用勾股定理逆定理可證△CDM是直角三角形，即∠MCD=90°，則CD是⊙M的切線(xiàn)；
（3）連接MA、MC，由于OA=ME=4，∠AOM=∠MEC=90°，CE=OM=2，利用SAS可證△AOM≌△MEC，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，易求出∠AMO+∠CME=90°，即∠AMC=90°，再利用勾股定理可求線(xiàn)段AM=MC=2

5

，從而利用弧長(zhǎng)公式可求弧AC=

5

π，設(shè)扇形AMC卷成的圓錐如圖3，作圓錐的高M(jìn)G，連接AG，利用弧長(zhǎng)公式可求AG=

5

2

，在Rt△AGM中，利用勾股定理可求GM．

解答：（本題12分）
解：（1）如圖1，點(diǎn)M就是要找的圓心．
正確即可（2分）

（2）證明：由A（0，4），可得小正方形的邊長(zhǎng)為1，
從而B(niǎo)（4，4）、C（6，2）（1分）
如圖2，設(shè)過(guò)C點(diǎn)與x軸垂直的直線(xiàn)與x軸的
交點(diǎn)為E，連接MC，作直線(xiàn)CD，
∴CE=2，ME=4，ED=1，MD=5，（1分）
在Rt△CEM中，∠CEM=90°，
∴MC²=ME²+CE²=4²+2²=20，
在Rt△CED中，∠CED=90°，
∴CD²=ED²+CE²=1²+2²=5，
∴MD²=MC²+CD²，（1分）
∴∠MCD=90°，（1分）
又∵M(jìn)C為半徑，
∴直線(xiàn)CD是⊙M的切線(xiàn)．（1分）

（3）連接MA（圖2）
∵OA=ME=4，OM=CE=2，∠AOM=∠MEC=90°，
∴△AOM≌△MEC，
∴∠AMO=∠MCE，
又∵∠CME+∠MCE=90°，∠AMO+∠CME=90°，
∴∠AMC=90°，
∴AM⊥MC，（2分）
又∵M(jìn)A=MC=2

5

，
∴弧AC的長(zhǎng)=

5

π，（1分）
設(shè)扇形AMC卷成的圓錐如圖3，作圓錐的高M(jìn)G，連接AG，則AG=

5

2

，（1分）
∴扇形AMC卷成的圓錐的高M(jìn)G=

MA2-AG2

=

5 3

2

．（1分）

點(diǎn)評(píng)：本題利用了線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的作法、勾股定理及逆定理、切線(xiàn)的判定、全等三角形的判定和性質(zhì)、弧長(zhǎng)計(jì)算公式．