Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠B=45°，∠ACB=30°，點D是BC上一點，連接AD，過點A作AG⊥AD，點F在線段AG上，延長DA至點E，使AE=AF，連接EG，CG，DF，若EG=DF，點G在AC的垂直平分線上，則 的值為

Answer 1

【答案】
【解析】解：過點A作AH⊥BC于點H，過點G作GK⊥BC于K，過點A作AL⊥GK于點L，取AC中點M，連接GM．
∵AG⊥DE，
∴∠DAF=∠EAG=90°
在Rt△ADF和Rt△AGE中，
，
∴Rt△ADF≌Rt△AGE，
∴AD=AG，
∵∠AHK=∠ALK=∠LKH=90°，
∴四邊形AHKL是矩形，
∴∠DAG=∠HAL=90°，
∴∠DAH=∠GAL，∵∠AHD=∠ALG=90°，
∴△ADH≌△AGL，
∴AH=AL，
在Rt△ACH中，∵∠ACH=30°，
∴AH=AL= AC=AM，
∵AG=AG，∠ALG=∠AMG=90°，
∴Rt△AGM≌Rt△AGL，
∴∠GAL=∠GAM，
∵AL∥BC，
∴∠CAL=∠ACH=30°，
∴∠GAL=∠GAM=15°，
∴∠DAH=∠GAL=15°，
∴∠CAD=∠CDA=75°，
∴AC=AD，設(shè)AH=a，則CD=AC=2a，CH= a，
∴LG=DH=CD﹣CH=2a﹣ a，
∴GK=LK﹣LG=（ ﹣1）a，
∵GA=GC，
∴∠GAC=∠GCA=15°，
∴∠GCK=45°，
∴CG= KG=（ ﹣ ）a，∵AB= AH= a，
∴ = = ．
所以答案是 ．