Question

【題目】如圖，的點(diǎn)，在上，與相交于點(diǎn)，連接，，，．

（1）求圓心到弦的距離；

（2）若．

①求證：是的切線；

②求的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）圓心到的距離為；（2）①見(jiàn)解析；②．

【解析】

（1）連接OD，OC，過(guò)O作OE⊥DC于E，得到△OCD是等邊三角形，求得OD＝OC＝CD＝，解直角三角形即可得到結(jié)論；

（2）①由（1）得，△ODC是等邊三角形，求得∠OCD＝60°，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到∠A＝∠BCD＝30°，求得∠OCB＝90°，于是得到BC是⊙O的切線；

②根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到CB2＝ABDB，過(guò)D作DF⊥AC于F，得到∠AFD＝∠CFD＝90°，解直角三角形求出AD，再證明，即可解決問(wèn)題．

解：（1）連接，，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

∵內(nèi)接于，，

∴，

∵，，

∴為等邊三角形，

∴，

∵，

∴，，，

∴，即圓心到的距離為；

（2）①由（1）得為等邊三角形，

∴,

∵，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴是的切線；

②∵，

∴，即，

過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

∴，

∵，，，

∴，，

∵，，

∴，

∴，

設(shè)為，則，

解得：，

∴（），

∴．