Question

（本題滿分9分）定理：若、是關(guān)于的一元二次方程的兩實(shí)根，則有，.請(qǐng)用這一定理解決問題：已知、是關(guān)于的一元二次方程的兩實(shí)根，且，求的值.

Answer 1

由已知定理得：，   （2分）
∴,
即，解得：,   （6分）
又∵，∴ ；∴的值為1.

根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系知：x₁+x₂=2（k+1），x₁x₂=k²+2，代入（x₁+1）（x₂+1）=8，即x₁x₂+（x₁+x₂）+1=8代入即可得到關(guān)于k的方程，可求出k的值，再根據(jù)△與0的關(guān)系舍去不合理的k值．
解：由已知定理得：x₁x₂=k²+2，x₁+x₂=2（k+1）．
∴（x₁+1）（x₂+1）=x₁x₂+（x₁+x₂）+1=k²+2+2（k+1）+1=8．
即k²+2k-3=0，
解得：k₁=-3，k₂=1．
又∵△=4（k+1）²-4（k²+2）≥0．
解得：k≥，故k=-3舍去．
∴k的值為1．