Question

12、把自然數(shù)1到2010分組，要求每組內(nèi)任意3個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)為1，則至少需要分成

503

組．

Answer 1

分析：每組內(nèi)任意3個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)為1，那么可以3，4，5，6個(gè)連續(xù)整數(shù)，但是5和6不符，從題意至少，則為4．

解答：解：從上可以得到：（1，2，3，4）；（5，6，7，8）；（9，10，11，12）即2010÷4=502…2即503組．
2010個(gè)數(shù)中，有1005個(gè)偶數(shù)，根據(jù)條件，顯然要分組的話，每組最多只能有2個(gè)偶數(shù)，所以至少要分成1005÷2=502…1，所以要503組．下面就看503組是不是滿足條件的最少組了．顯然是的，我們這樣來劃分偶數(shù)組（2），（2×2，2×3）（2×4，2×5）（2×6，2×7）…（2×1004，2×1005），這樣的503組中，它們除去約數(shù)2后，剩下的是互質(zhì)的（因?yàn)橄噜彛�，所以，將剩余�?005個(gè)奇數(shù)也采用相鄰奇數(shù)插入，即3放入（2）中，5、7放入（2×2，2×3）中，9、11放入（2×4，2×5）中…2007、2009放入（2×1004，2×1005）中，由于相鄰奇數(shù)也是互質(zhì)的，所以每組中任意三個(gè)數(shù)一定互質(zhì)，即公約數(shù)是1，所以最小分為503組．

點(diǎn)評(píng)：該題的規(guī)律在于答案的嘗試，著手點(diǎn)在于每組任意3個(gè)數(shù)的最大公因式為1，定為連續(xù)的四個(gè)整數(shù)．