Question

（2013•鐵嶺）如圖，點(diǎn)G、E、A、B在一條直線上，Rt△EFG從如圖所示是位置出發(fā)，沿直線AB向右勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)G與B重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)△EFG與矩形ABCD重合部分的面積為S，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，則S與t的圖象大致是（　�。�

A．

B．

C．

D．

Answer 1

分析：設(shè)GE=a，EF=b，AE=m，AB=c，Rt△EFG向右勻速運(yùn)動(dòng)的速度為1，分類討論：當(dāng)E點(diǎn)在點(diǎn)A左側(cè)時(shí)，S=0，其圖象為在x軸的線段；當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)A左側(cè)，點(diǎn)E在點(diǎn)A右側(cè)時(shí)，AE=t-m，GA=a-（t-m）=a+m-t，易證得△GAP∽△GEF，利用相似比可表示PA=

b

a

（a+m-t），S為圖形PAEF的面積，則S=

1

2

[

b

a

（a+m-t）]•（t-m），可發(fā)現(xiàn)S是t的二次函數(shù)，且二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)數(shù)，所以拋物線開口向下；當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)A右側(cè)，點(diǎn)E在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)，S為定值，定義三角形GEF的面積，其圖象為平行于x軸的線段；當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)B左側(cè)，點(diǎn)E在點(diǎn)B右側(cè)時(shí)，和前面一樣運(yùn)用相似比可表示出PB=

b

a

（a+m+c-t），S為△GPB的面積，則S=

b

2a

（t-a-m-c）²，則S是t的二次函數(shù)，且二次項(xiàng)系數(shù)為，正數(shù)，所以拋物線開口向上．

解答：解：設(shè)GE=a，EF=b，AE=m，AB=c，Rt△EFG向右勻速運(yùn)動(dòng)的速度為1，
當(dāng)E點(diǎn)在點(diǎn)A左側(cè)時(shí)，S=0；
當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)A左側(cè)，點(diǎn)E在點(diǎn)A右側(cè)時(shí)，如圖，
AE=t-m，GA=a-（t-m）=a+m-t，
∵PA∥EF，
∴△GAP∽△GEF，
∴

PA

EF

=

GA

GE

，即

PA

b

=

a+m-t

a

∴PA=

b

a

（a+m-t），
∴S=

1

2

（PA+FE）•AE=

1

2

[

b

a

（a+m-t）]•（t-m）
∴S是t的二次函數(shù)，且二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)數(shù)，所以拋物線開口向下；
當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)A右側(cè)，點(diǎn)E在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)，S=

1

2

ab；
當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)B左側(cè)，點(diǎn)E在點(diǎn)B右側(cè)時(shí)，如圖，
GB=a+m+c-t，
∵PA∥EF，
∴△GBP∽△GEF，
∴

PB

EF

=

GB

GE

，
∴PB=

b

a

（a+m+c-t），
∴S=

1

2

GB•PB=

1

2

（a+m+c-t）•

b

a

（a+m+c-t）=

b

2a

（t-a-m-c）²，
∴S是t的二次函數(shù)，且二次項(xiàng)系數(shù)為，正數(shù)，所以拋物線開口向上，
綜上所述，S與t的圖象分為四段，第一段為x軸上的一條線段，第二段為開口向下的拋物線的一部分，第三段為與x軸平行的線段，第四段為開口向上的拋物線的一部分．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象：先根據(jù)幾何性質(zhì)得到與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的兩變量之間的函數(shù)關(guān)系，然后利用函數(shù)解析式和函數(shù)性質(zhì)畫出其函數(shù)圖象，注意自變量的取值范圍．