Question

（2005•河北）操作示例：
對(duì)于邊長(zhǎng)為a的兩個(gè)正方形ABCD和EFGH，按圖1所示的方式擺放，在沿虛線(xiàn)BD，EG剪開(kāi)后，可以按圖中所示的移動(dòng)方式拼接為圖1中的四邊形BNED．
從拼接的過(guò)程容易得到結(jié)論：
①四邊形BNED是正方形；
②S_{正方形ABCD}+S_{正方形EFGH}=S_{正方形BNED}．
實(shí)踐與探究：
（1）對(duì)于邊長(zhǎng)分別為a，b（a＞b）的兩個(gè)正方形ABCD和EFGH，按圖2所示的方式擺放，連接DE，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥DE，交AB于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥DM，過(guò)點(diǎn)E作EN⊥DE，MN與EN相交于點(diǎn)N；
①證明四邊形MNED是正方形，并用含a，b的代數(shù)式表示正方形MNED的面積；
②在圖2中，將正方形ABCD和正方形EFGH沿虛線(xiàn)剪開(kāi)后，能夠拼接為正方形MNED，請(qǐng)簡(jiǎn)略說(shuō)明你的拼接方法（類(lèi)比圖1，用數(shù)字表示對(duì)應(yīng)的圖形）；
（2）對(duì)于n（n是大于2的自然數(shù)）個(gè)任意的正方形，能否通過(guò)若干次拼接，將其拼接成為一個(gè)正方形？請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明你的理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先證明四邊形MNED是矩形，然后依題意可證出四邊形MNED是正方形．根據(jù)勾股定理可得正方形MNED的面積．
過(guò)點(diǎn)N做NP⊥BE，然后根據(jù)全等三角形的判定求得．
（2）由上述的拼接過(guò)程可以看出：對(duì)于任意的兩個(gè)正方形都可以拼接為一個(gè)正方形，而拼接出的這個(gè)正方形可以與第三個(gè)正方形在拼接為一個(gè)正方形，所以可得出一個(gè)正方形．
解答：解：（1）①證明：由作圖的過(guò)程可知四邊形MNED是矩形．
在Rt△ADM與Rt△CDE中，
∵AD=CD，又∠ADM+∠MDC=∠CDE+∠MDC=90°，
∴DM=DE
∴四邊形MNED是正方形．
∵DE²=CD²+CE²=a²+b²，
∴正方形MNED的面積為a²+b²；
②過(guò)點(diǎn)N作NP⊥BE，垂足為P，如圖
可以證明圖中6與5位置的兩個(gè)三角形全等，4與3位置的兩個(gè)三角形全等，2與1位置的兩個(gè)三角形也全等．
所以將6放到5的位置，4放到3的位置，2放到1的位置，恰好拼接為正方形MNED．

（2）答：能．
理由是：由上述的拼接過(guò)程可以看出：對(duì)于任意的兩個(gè)正方形都可以拼接為一個(gè)正方形，而拼接出的這個(gè)正方形可以與第三個(gè)正方形在拼接為一個(gè)正方形，依此類(lèi)推．由此可知：對(duì)于n個(gè)任意的正方形，可以通過(guò)（n-1）次拼接，得到一個(gè)正方形．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是正方形的性質(zhì)以及正方形的判定定理．