Question

已知⊙O的半徑為R，PA，PB為⊙O的切線，M為AB延長線上一點，N為OM上一點，且OM•OM=R²，求證：PN⊥OM．

Answer 1

證明：連接OA，則OM•ON=OA²，
連接OP，交AB于Q，連接PN，則OP⊥AQ，
∵在Rt△PAO中，AQ為底邊PO上的高，
∴∠PAO=∠AQO=90°，又∠AOQ=∠POA，
∴△AOQ∽△POA，
∴，
∴OA²=OQ•OP，
∴OM•ON=OQ•OP，即=，
又∠PON=∠MOQ，
∴△PON∽△MOQ，
∴∠PNO=∠MQO=90°，
∴PN⊥OM．
分析：連接OA，由切線性質(zhì)得到OA與AP垂直，OA為圓的半徑，則有ON•OM=OA²，再連接OP，根據(jù)切線長定理得到PO與AB垂直，根據(jù)一對公共角及一對直角相等得到三角形AOD與三角形APO相似，根據(jù)相似得比例可得OA²=OP•OQ，等量代換得到OMON=OPOQ，又根據(jù)一對公共角，利用兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩三角形相似，可得三角形OQM與三角形OPN相似，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)角相等，可得∠PNO=∠OQM=90°，得證．
點評：此題考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，以及切線長定理，遇到直線與圓相切問題時，常常連接圓心與切點，構(gòu)造直角三角形解決問題，切線長定理為經(jīng)過圓外一點作圓的兩條切線，切線長相等，此點與圓心的連線平分兩切線的夾角，且與兩切點的連線垂直，根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，靈活運用相似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．