Question

如圖，ABCD是矩形，把矩形沿直線AC折疊，點(diǎn)B落在E處，連接DE，從E作EH⊥AC交AC于H．
（1）判斷四邊形ACED是什么圖形，并加以證明；
（2）若AB=8，AD=6，求DE的長；
（3）四邊形ACED中，比較AE+EC與AC+EH的大小并說明理由．

Answer 1

解：（1）四邊形ACED是等腰梯形．
理由：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，CD∥AB，AD∥BC，∠B=∠DAB=90°．
∴∠ACD=∠CAB．∠DAC=∠BCA，
∵△ACE與△ACB關(guān)于AC對稱，
∴△ACE≌△ACB，
∴AE=AB=CD，CE=CB=AD，∠EAC=∠BAC，∠ACE=∠ACB，∠AEC=∠B=90°，
∴∠ACD=∠EAC．∠ACE=∠DAC，
∴∠ACE-∠ACD=∠DAC-∠EAC，
∴∠ECD=∠DAE．
在△ECD和△DAE中，
，
∴△ECD≌△DAE，
∴∠CDE=∠AED．
∵∠CDE+∠ADE=∠EAC+∠DCA，
∴2∠CDE=2∠ACD，
∴∠CDE=∠ACD，
∴DE∥AC，
∵AD=CE，
∴四邊形ACED是等腰梯形．
（2）作DQ⊥AC于Q，DQ=
∴∠DQH=∠DQA=90°．
∵EH⊥AC，
∴∠EHC=∠EHA=90°．
∵DE∥AC，
∴∠EDQ=∠AQD=90°，
∴∠EDQ=∠DQH=∠EHQ=90°，
∴四邊形DQHE是矩形．
∴DE=QH，DQ=EH．
在Rt△AQD和Rt△CHE中，
，
∴Rt△AQD≌Rt△CHE（HL）．
∴AQ=CH．
∵AB=8，AD=6，
∴由勾股定理，得
AC=10．
∴，
∴EH=4.8．
在Rt△CEH中，由勾股定理，得
∴CH=3.6
∴DE=10-3.6-3.6=2.8．
（3）∵
∴△AEC∽△AHE，
∴，
∴AE•EC=AC•EH，
∴AE=．
∴（AE+EC）-（AC+EH）
=AE+CE-AC-EH，
=（AE+EC）-（AC+EH）=+CE-AC-EH，
=，
=．
∵EC＞EH，AC＞EC，EC＞0，
∴EC-EH＞0，EC-AC＜0，
∴＜0，
∴（AE+EC）-（AC+EH）＜0，
∴AE+EC＜AC+EH．
分析：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)和軸對稱的性質(zhì)可以得出AD=BC=CE，AE=AB=CD，就可以得出△ADC≌△CEA，和△ADE≌△CED得出DE∥AC，而得出四邊形ACED是等腰梯形；
（2）作DQ⊥AC于Q，就可以得出四邊形DQHE是矩形，可得AQ=CH，由勾股定理求出CH的值就可以得出結(jié)論；
（3）由他就可以得出△AEC∽△AHE，就有，運(yùn)用求差法就可以求出結(jié)論．
點(diǎn)評：本題考查了軸對稱的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，相似三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，等腰梯形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，求差法比較大小的運(yùn)用，解答時靈活運(yùn)用軸對稱的性質(zhì)求解是關(guān)鍵．