Question

如圖1，已知矩形OABC中，OC=10，OA=6，在OA、OC邊上選取適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)E、F，將△OEF沿EF對折，使O點(diǎn)落在AB邊上的D點(diǎn)．
（1）當(dāng)點(diǎn)E取在點(diǎn)A上，得圖2，求出相應(yīng)的OF的長；
（2）寫出OF的取值范圍；
（3）在如圖1中過點(diǎn)D作DG∥AO交EF于點(diǎn)T，交OC于點(diǎn)G，連接OT，得到圖3
①證明四邊形OEDT是菱形；
②設(shè)AD長為x，請你利用所學(xué)的函數(shù)及其圖象的有關(guān)知識(shí)判斷，當(dāng)x取什么值時(shí)，菱形OEDT的周長L取最大值，并求出周長L的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)對折和矩形的性質(zhì)得出∠OAF=∠DAF=∠AFO，推出OF=OA即可；
（2）根據(jù)圖形即可求出答案；
（3）①根據(jù)SAS證△OTF≌△DTF，推出∠TOF=∠TDF=∠ADE，再證Rt△AED≌Rt△GTO，推出ED=OT，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求出OE=DT，即可推出答案；
②根據(jù)勾股定理得出方程（10-x）²=10²-6²，求出x，依題意得出方程x2+(6-

L

4

)2=(

L

4

)2，化成頂點(diǎn)式即可求出答案．

解答：（1）解：在圖1中，根據(jù)題意
∵矩形ABCO，
∴AB∥OC，∠BAC=90°，
∵△EOF延AF折疊得到△ADF，
∴∠OAF=∠DAF=45°=∠AFO，
∴OF=OA=6
答：相應(yīng)的OF的長是6．

（2）答：OF的取值范圍是0＜OF≤6．

（3）①證明：∵FD=FO，∠DFE=∠EFO，F(xiàn)T=FT，
∴△OTF≌△DTF，
∴∠TOF=∠TDF=∠ADE，
∵AD=OG，∠A=∠TGO=90°，
∴Rt△AED≌Rt△GTO，
∴ED=OT，
∵OA=DG，AE=TG，
∴DT=EO，
∴ED=DT=OT=OE，
∴四邊形OEDT是菱形．

②解：利用圖2′Rt△DBC得：（10-x）²=10²-6²，
解得x=2或x=18（不合題意，舍去），
利用圖2及（1）的結(jié)果得x=6，
所以2≤x≤6，
依題意得：x2+(6-

L

4

)2=(

L

4

)2，
所以L=12+

x2

3

（2≤X≤6），
由于函數(shù)值L在坐標(biāo)軸（L軸）的右側(cè)隨x的增大而增大，所以當(dāng)x=6時(shí)，L取最大值，
即L最大=12+

62

3

=24，

答：當(dāng)x取6時(shí)，菱形OEDT的周長L取最大值，周長L的最大值是24．

點(diǎn)評：本題主要考查對平行四邊形的性質(zhì)和判定，菱形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，二次函數(shù)的最值等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．