Question

如圖，AB為⊙O的直徑，C是⊙O上的一點，D在AB的延長線上，∠DCB=∠A．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）若BD=2OB，CD=4，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析：（1）連接OC，根據(jù)圓周角定理求出∠ACB=90°，求出∠ACB=∠ACO+∠BCO=∠DCB+∠BCO=∠OCD=90°，根據(jù)切線判定推出即可；
（2）在Rt△OCD中，根據(jù)勾股定理得出方程，求出方程的解即可．

解答：（1）證明：
連接OC，
∵AB是⊙O直徑，
∴∠ACB=90°，
即∠ACO+∠BCO=90°，
∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∵∠DCB=∠A，
∴∠DCB=∠ACO，
∴∠DCB+∠BCO=90°，
∴∠OCD=90°，
即OC⊥DC，
∵OC為半徑，
∴CD是⊙O的切線；

（2）解：∵BD=2BO，OB=OC，
∴BD=2OC，
設(shè)OC=x，則DO=3x，
∵∠OCD=90°，
∴在Rt△OCD中，由勾股定理得：x²+4²=（3x）²，
解得：x=

2

，
⊙O的半徑是

2

．

點評：本題考查了圓周角定理，切線的判定定理，勾股定理的應(yīng)用，用了方程思想．