Question

如圖，AB是⊙O的直徑，點C在BA的延長線上，直線CD與⊙O相切于點D，弦DF⊥AB于點E，線段CD=10，連接BD。

1.求證：∠CDE=2∠B；

2.若BD：AB=，求⊙O的半徑及DF的長。

 

Answer 1

【答案】

 

1.證明：連接OD………………………1分

∵直線CD與⊙O相切于點D

∴OD⊥CD

∴∠CDO=90°

∴∠CDE+∠ODE=90°……………………2分

2.

∴在直角三角形ADB中，cosB==

∴∠B=30°……………………6分

∴∠AOD=2∠B =60°

又∵∠CDO=90°

∴∠C=30°……………………7分

∵在直角三角形CDO中，CD=10

∴OD=10tan30°=

即⊙O的半徑為……………………8分

在直角三角形CDE中，CD=10, ∠C=30°

∴DE=CDsin30°=5……………………9分

∵弦DF⊥直徑AB于點E

∴DE=EF=DF

∴DF=2DE=10……………………10分

【解析】（1）連接OD，根據(jù)弦切角定理得∠CDE=∠EOD，再由同弧所對的圓心角是圓周角的2倍，可得∠CDE=2∠B；

（2）連接AD，根據(jù)三角函數(shù)，求得∠B=30°，則∠EOD=60°，推得∠C=30°，根據(jù)∠C的正切值，求出圓的半徑，再在Rt△CDE中，利用∠C的正弦值，求得DE，從而得出DF的長．

【解析】略