Question

【題目】如圖，△ABC是以∠C為直角的直角三角形，且BC=1，AC=，圓O是△ABC的外接圓，過(guò)△ABC的內(nèi)角∠C作角平分線交AB于點(diǎn)D，交圓O與點(diǎn)E，連接AE，

（1）求AE的長(zhǎng)．

（2）求的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）連接BE，在Rt△ABC中利用勾股定理可求出AB的長(zhǎng)，由CE平分∠ACB結(jié)合圓周角定理可得出∠BAE＝∠BCE＝45°，進(jìn)而可得出△ABE為等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)結(jié)合AB的長(zhǎng)度即可求出AE的長(zhǎng)度；

（2）連接OE，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AB于點(diǎn)F，利用面積法可求出CF的長(zhǎng)度，利用等腰直角三角形的性質(zhì)可得出OE的長(zhǎng)度，再利用三角形的面積公式即可求出的值．

（1）連接BE，如圖1所示．

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=1，AC=，

∴AB==2．

∵CE平分∠ACB，

∴∠BCE=∠ACB=45°

∴∠BAE=∠BCE=45°．

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠AEB=90°，

∴△ABE為等腰直角三角形，

∴AE=AB=．

（2）連接OE，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AB于點(diǎn)F，如圖2所示．

∵∠ACB=90°，BC=1，AC=，AB=2，

∴CF==．

∵△ABE為等腰直角三角形，AB=2，

∴OE=AB=1，OE⊥AB，

∴==．