Question

如圖1，已知直線y=

2

5

x+2與x軸交于點(diǎn)A，交y軸于C、拋物線y=ax²+4ax+b經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn)，拋物線交x軸于另一點(diǎn)B．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)Q在拋物線上，且有△AQC和△BQC面積相等，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（3）如圖2，點(diǎn)P為△AOC外接圓上

ACO

的中點(diǎn)，直線PC交x軸于D，∠EDF=∠ACO．當(dāng)∠EDF繞D旋轉(zhuǎn)時(shí)，DE交AC于M，DF交y軸負(fù)半軸于N、問(wèn)CN-CM的值是否發(fā)生變化？若不變，求出其值；若變化，求出變化范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)直線AC的解析式可求得A、C的坐標(biāo)，將它們代入拋物線的解析式中，即可求得待定系數(shù)的值，從而確定該拋物線的解析式．
（2）此題應(yīng)分作兩種情況考慮：
①當(dāng)Q點(diǎn)在AC段的拋物線圖象上時(shí)，由于△BCQ、△ACQ等底，若它們的面積相等，那么它們的CQ邊上的高必相等，即CQ∥AB，根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸和點(diǎn)C的坐標(biāo)即可得到點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
②當(dāng)Q在AC段以為的拋物線圖象上時(shí)，設(shè)直線CQ與x軸的交點(diǎn)為R，那么△ACQ、△BCQ的面積分別可表示為：

1

2

AR•|y_C-y_Q|和

1

2

BR•|y_C-y_Q|，因此兩個(gè)三角形可看作是等高的三角形，因此“底邊”AR=BR，即R是AB的中點(diǎn)，易得R的坐標(biāo)，可求出直線CR的解析式，聯(lián)立拋物線的解析式，即可求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
（3）過(guò)點(diǎn)D作∠NDR=∠PDE，交y軸于R，那么∠RDC=∠NDM=∠ACO；由于P是△AOC外接圓⊙S上

ACO

的中點(diǎn)，根據(jù)垂徑定理可知，SR所在直線必平行于y軸，那么∠PSC=∠ACO=∠RDC，易證得∠SPC=∠DCR，那么△SPC∽△DCR，由于△PSC是等腰三角形，那么△DCR也是等腰三角形，即CD=DR，易證得∠CMD=∠RND，則可證得△DCM≌△DRN，可得CM=RN，即CN-CM=CR=2OC，由此得解．

解答：解：（1）由直線AC的解析式可得：A（-5，0），C（0，2）；
代入拋物線的解析式中可得：

25a-20a+b=0 b=2

，
解得

a=- 2 5 b=2

；
故拋物線的解析式為：y=-

2

5

x²-

8

5

x+2．

（2）易知B（1，0）；
①當(dāng)Q在AC段的拋物線上時(shí)，
△ACQ和△BCQ同底，若它們的面積相等，則A、B到直線CQ得距離相等，即CQ∥AB；
由于拋物線的對(duì)稱軸為x=-2，
故Q（-4，2）；
②當(dāng)Q在線段AC外的直線上時(shí)，
△ACQ的面積為：

1

2

AL•|y_C-y_Q|，
△BCQ的面積為：

1

2

BL•|y_C-y_Q|，
若兩個(gè)三角形的面積相等，
那么AL=BL，
即L是線段AB的中點(diǎn)，即L（-2，0）；
易知直線CL的解析式為：y=x+2，聯(lián)立拋物線的解析式得：

y=- 2 5 x2- 8 5 x+2 y=x+2

，
解得

x=0 y=2

，

x=- 13 2 y=- 9 2

；
故Q（-

13

2

，-

9

2

）；
綜上所述，存在兩個(gè)符合條件的點(diǎn)Q，且坐標(biāo)為：Q（-4，2）或（-

13

2

，-

9

2

）．

（3）如圖，設(shè)△AOC的外接圓圓心為S；
作∠NDR=∠PDE，交y軸于R；
則∠PDR=∠MDN=∠ACO；
由于P點(diǎn)是

ACO

的中點(diǎn)，由垂徑定理知SP必平行于y軸，得：
∠PSC=∠ACO=∠CDR，∠SPC=∠RCD；
則△SCP∽△DCR，
所以△CDR也是等腰三角形；
即CD=DR，OC=OR；
∵∠PCS=∠DRC，
∴∠DCM=∠DRN，
又∵∠CDM=∠NDR，CD=DR，
∴△DCM≌△DRN，
得CM=RN，
故CN-CM=CR=2OC；
所以CN-CM的值不變，恒為2OC，即4．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、圖形面積的求法、函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)的求法、全等三角形的判定和性質(zhì)等重要知識(shí)點(diǎn)；（2）題中，由于點(diǎn)Q的位置不確定，所以一定要將問(wèn)題考慮全面，不要漏解；（3）題中，能夠正確的構(gòu)建出全等三角形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，此題涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，難度很大．