Question

在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，D是邊AC上一動點（不與端點A、C重合），過動點D的直線l與射線AB相交于點E，與射線BC相交于點F，
（1）設(shè)CD=1，點E在邊AB上，△ADE與△ABC相似，求此時BE的長度．
（2）如果點E在邊AB上，以點E、B、F為頂點的三角形與以點E、A、D為頂點的三角形相似，設(shè)CD=x，BF=y，求y與x之間的函數(shù)解析式并寫出函數(shù)的定義域．
（3）設(shè)CD=1，以點E、B、F為頂點的三角形與以點E、A、D為頂點的三角形相似，求S_△EBF：S_△EAD的值．

Answer 1

分析：（1）小題由已知△ADE和△ABC相似得出比例式就能求出BE；（2）小題利用點E、B、F為頂點的三角形與以點E、A、D為頂點的三角形相似得到比例式即可求出x y的關(guān)系式；（3）小題首先進行分類（圖（2）圖（3）），分別證出兩三角形相似，進而得到比例式求出答案．

解答：解：（1）在△ABC中∠ACB=90°，由勾股定理得：AB=5，
∵要使△ADE與△ABC相似，∠A=∠A，且與與射線AB相交于點E，與射線BC相交于點F，
∴必須

AD

AB

=

AE

AC

，
解得AE=

12

5

，
∴BE=

13

5

答案為：BE的長度是

13

5

．

（2）如圖，過點D的直線l交線段AB于點E，
交BC的延長線于點F，
∵∠A≠∠B，∠2≠∠A，
如果△BEF與△EAD相似，那么只能∠1=∠A，
又∵∠ACF=∠ACB=90°，∠1=∠A，
∴△FDC∽△ABC，
∴

CD

CB

=

CF

CA

，
∴

x

3

=

y-3

4

，
∴y=

4x+9

3

（0＜x＜4），
答案為：y與x之間的函數(shù)解析式是；y=

4x+9

3

，函數(shù)的定義域是：0＜x＜4．

（3）如圖，當直線l交線段AB于點E，交BC的延長線于點F時，CD=1時，BF=

13

3

，AD=3，
由△EBF∽△EDA得S_△EBF：S_△EAD=(

BF

AD

)2=

169

81

，
如圖，當直線l交線段AB的延長線于點E、交線段BC于點F時，CD=1，AD=3，
由∠1=∠A得△EBF∽△EDA，
進而，由△FDC∽△ABC，得

CD

CB

=

CF

CA

，
由

1

3

=

CF

4

，得CF=

4

3

，
∴BF=

5

3

，
由△EBF∽△EDA得：S_△EBF：S_△EAD=(

BF

AD

)2=

25

81

，
綜上所述，S_△EBF：S_△EAD的值等于

169

81

或

25

81

．

點評：（1）（2）小題主要考查對相似三角形的性質(zhì)的理解和掌握，（3）小題是相似三角形的性質(zhì)和判定的綜合運用，關(guān)鍵是找出相似的條件判斷兩三角形相似，進而利用相似的性質(zhì)求出BF AD 的長度，即可得到答案．題型很好但難度較大．