Question

如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，直線MN經(jīng)過點(diǎn)O，設(shè)銳角∠DOC=∠α，將△DOC以直線MN為對稱軸翻折得到△D′OC′，直線A D′、B C′相交于點(diǎn)P．
（1）當(dāng)四邊形ABCD是矩形時，如圖1，請猜想A D′、B C′的數(shù)量關(guān)系以及∠APB與∠α的大小關(guān)系；
（2）當(dāng)四邊形ABCD是平行四邊形時，如圖2，（1）中的結(jié)論還成立嗎？
（3）當(dāng)四邊形ABCD是等腰梯形時，如圖3，∠APB與∠α有怎樣的等量關(guān)系？請證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）由四邊形ABCD是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)與折疊的性質(zhì)，易證得△BOC′≌△AOD′，則可得AD′=BC′，∠BC′O=∠AD′O，然后由三角形的內(nèi)角和定理，求得∠APB=∠α；
（2）由四邊形ABCD是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)與折疊的性質(zhì)，易證得△AOD′≌△C′OB，則可得AD′=BC′，但是證不出：∠APB=∠α；
（3）由四邊形ABCD是等腰梯形，根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)與折疊的性質(zhì)，易證得△D′OC′≌△AOB，然后由三角形的內(nèi)角和定理，求得∠APB=180°-∠α．
解答：答：（1）AD′=BC′，∠APB=∠α．
證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴OA=OB=OC=OD，
∴OC′=OD′=OC=OD，
∵∠C′OD′=∠COD，∠AOB=∠COD，
∴∠AOB=∠C′OD′，
∴∠BOC′=∠AOD′，
在△BOC′和∠AOD′中，
，
∴△BOC′≌△AOD′（SAS），
∴AD′=BC′，∠BC′O=∠AD′O，
∵∠APB=∠C′PD′=180°-∠BC′O-OC′D′-∠PD′C′，∠DOC=∠D′OC′=180°-∠OC′D′-∠PD′C′-∠AD′O，
∴∠APB=∠DOC=∠α；

（2）AD′=BC′仍然成立，∠APB=∠α不一定成立．
證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵OC′=OC，OD′=OD，
∴OA=OC′，OB=OD′，
∵∠C′OD′=∠COD，∠AOB=∠COD，
∴∠AOB=∠C′OD′，
∴∠BOC′=∠D′OA，
在△AOD′和△C′OB中，
，
∴△AOD′≌△C′OB（SAS），
∴AD′=BC′；
但是∠APB=∠α不一定成立．

（3）∠APB=180°-∠α． 
證明：如圖3，設(shè)OC′，PD′交于點(diǎn)E．
∵將△DOC以直線MN為對稱軸翻折得到△D′OC′，
∴△DOC≌△D′OC′，
∴OD=OD′，OC=OC′，∠DOC=∠D′OC′．
∵四邊形ABCD是等腰梯形，
∴AC=BD，AB=CD，∠ABC=∠DCB．
∵BC=CB，
∴△ABC≌△DCB．
∴∠DBC=∠ACB．
∴OB=OC，OA=OD．
∵∠AOB=∠COD=∠C′O D′，
∴∠BOC′=∠D′O A．
∵OD′=OA，OC′=OB，
∴△D′OC′≌△AOB，
∴∠OD′C′=∠OAB．
∵OD′=OA，OC′=OB，∠BOC′=∠D′O A，
∴∠OD′A=∠OAD′=∠OBC′=∠OC′B．
∵∠C′EP=∠D′EO，
∴∠C′PE=∠C′OD′=∠COD=∠α．
∵∠C′PE+∠APB=180°，
∴∠APB=180°-∠α．
點(diǎn)評：此題考查了矩形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、等腰梯形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．此題難度較大，注意掌握折疊前后圖形的對應(yīng)關(guān)系，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．