Question

已知，點P是直角三角形ABC斜邊AB上一動點（不與A，B重合），分別過A，B向直線CP作垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，Q為斜邊AB的中點．

（1）如圖1，當點P與點Q重合時，AE與BF的位置關系是　   　，QE與QF的數(shù)量關系式　   　；
（2）如圖2，當點P在線段AB上不與點Q重合時，試判斷QE與QF的數(shù)量關系，并給予證明；
（3）如圖3，當點P在線段BA（或AB）的延長線上時，此時（2）中的結論是否成立？請畫出圖形并給予證明．

Answer 1

解：（1）AE∥BF，QE=QF。
（2）QE=QF，證明如下：
如圖，延長FQ交AE于D，
 
∵AE∥BF，∴∠QAD=∠FBQ。
在△FBQ和△DAQ中，∵，
∴△FBQ≌△DAQ（ASA）。∴QF=QD。
∵AE⊥CP，∴EQ是直角三角形DEF斜邊上的中線。
∴QE=QF=QD，即QE=QF。
（3）（2）中的結論仍然成立。證明如下：
如圖，延長EQ、FB交于D，

∵AE∥BF，∴∠1=∠D。
在△AQE和△BQD中，，
∴△AQE≌△BQD（AAS），∴QE=QD。
∵BF⊥CP，∴FQ是斜邊DE上的中線�！郠E=QF。

（1）證△BFQ≌△AEQ即可。理由是：
如圖，∵Q為AB中點，∴AQ=BQ。
∵BF⊥CP，AE⊥CP，∴BF∥AE，∠BFQ=∠AEQ。
在△BFQ和△AEQ中，，∴△BFQ≌△AEQ（AAS）�！郠E=QF。
（2）證△FBQ≌△DAQ，推出QF=QD，根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質求出即可。
（3）證△AEQ≌△BDQ，推出DQ=QE，根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質求出即可。